曲线拟合——拉普拉斯/瑞利/对数正态 曲线

Posted 2020-09-04 桂。

作者：桂。

时间：2017-03-15  21:12:18

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本文为拟合系列中的一部分，主要介绍拉普拉斯曲线 、瑞利曲线、对数正态曲线的拟合，并给出理论推导。

 

 

一、理论分析

　　A-拉普拉斯（Laplace）

对于拉普拉斯分布：

$f(x) = \\frac{1}{{2b}}{e^{ - \\frac{{\\left| {x - \\mu } \\right|}}{b}}}$

假设数据点{$x_i$,$y_i$}（$i = 1,2,3,...N$）符合Laplace分布曲线，对其进行拟合（曲线拟合不同于分布拟合，需要乘以幅度$A$）,给出准则函数：

 

对准则函数$J_0$求解即可实现参数估计。

由于求导比较复杂（可以借助Mathmatica/Maple），因此这里换一个思路：如果$e^x$—>$y$，则$x$—>$lny$，重新定义准则函数：

后续求参就方便了。

给出调用fit实现的代码：

clc;clear all;close all;
%generate the orignal data
mu = 3;
b = 2;
A = 4;
x=-10:.1:10;
y=A/2/b*exp(-abs(x-mu)/b)+0.05*randn(1,length(x));
subplot 211
scatter(x,y,\'k\');grid on;
 
%%curve fitting
%2-Laplace distribution
f = fittype(\'a*exp(-(abs(x-b)/c))\');
[cfun,gof] = fit(x(:),y(:),f);
yo = cfun.a*exp(-(abs(x-cfun.b)/cfun.c));
%plot
subplot 212
scatter(x,y,\'k\');hold on;
grid on;
plot(x,yo,\'g--\',\'linewidth\',2);

对应结果图：

　　B-瑞利(Rayleigh)

对于瑞利分布：

$f(x) = \\frac{x}{{{\\sigma ^2}}}{e^{ - \\frac{{{x^2}}}{{2{\\sigma ^2}}}}}$

给出准则函数：

只涉及一个参数$\\sigma$，同样是利用对数转化，进而求取参数估计。

　　C-对数正态（Log-normal）

对数正态就是正态分布的变形，即$lnx$—>$x$，求参过程完全一致，可以参考：正态曲线拟合。

 

二、拟合优化

对于求取对数的估计准则，都会有误差在0处较大的问题。关于优化的小trick,在分析正态分布曲线拟合时，已经给出详细理论，此处不再展开。