麦森数

Posted 2020-09-04 鄉勇

题目描述

形如2P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2P-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。

任务：从文件中输入P（1000<P<3100000），计算2P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）

输入输出格式

输入格式：

 

文件中只包含一个整数P（1000<P<3100000）

 

输出格式：

 

第一行：十进制高精度数2^P-1的位数。

第2-11行：十进制高精度数2^P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）

不必验证2^P-1与P是否为素数。

 

输入输出样例

输入样例#1：

1279

输出样例#1：

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

思路：某种数学公式+高精乘（压位+阶梯因数）

代码实现：

 1 #include<cmath>
 2 #include<cstdio>
 3 #define mod 100000
 4 int p,s=1650;
 5 long long a[110],b[110],c[300],d;
 6 void write(long long x,int k){
 7     if(!k) return;
 8     write(x/10,k-1);
 9     putchar(x%10+‘0‘); 
10 }
11 void rid1(){
12     for(int i=0;i<=99;i++){
13         a[i]=a[i]*2+d,d=0;
14         if(a[i]>=mod){
15             d+=a[i]/mod;
16             a[i]%=mod;
17         }
18     }
19     d=0;
20 }
21 int rid2(){
22     for(int i=0;i<=99;i++)
23     for(int j=0;j<=99;j++)
24     c[i+j]+=a[i]*b[j];
25     for(int i=0;i<=99;i++) a[i]=c[i]%mod,c[i+1]+=c[i]/mod,c[i]=0;
26 }
27 int main(){
28     scanf("%d",&p);
29     printf("%d\n",(int)(log10(2)*p+1));
30     a[0]++;
31     if(p>s){
32         for(int i=1;i<=s;i++) rid1();
33         for(int i=0;i<=99;i++) b[i]=a[i];
34         p-=s;
35         while(p>s) rid2(),p-=s; 
36     }
37     for(int i=1;i<=p;i++) rid1();
38     a[0]--;
39     for(int i=99,j=1;i>=0;i--,j++){
40         write(a[i],5);
41         if(j%10==0) putchar(‘\n‘);
42     }
43     return 0;
44 }

不打快速幂是门美德，然而。。。

时间限制: 1 s 空间限制: 128000 KB 题目等级 : 黄金 Gold

题目描述 Description

形如2P-1的素数称为麦森数, 这时P一定也是个素数. 但反过来不一定, 即如果P是个素数, 2P-1不一定也是素数. 在1998年底, 人们找到了37个麦森数. 当时最大的一个是P=3021377, 它有909526位. 但是截止到2013年2月, 美国中央密苏里大学数学家库珀领导的研究小组通过参加一个名为“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目, 日前发现了第48个梅森素数——P=57885161; 该素数也是目前已知的最大素数, 有17425170位. 如果用普通字号将它连续打印下来, 它的长度可超过65公里! 美国数学学会发言人布林说:“超大素数令数学家和计算机科学家感到兴奋.” 他认为这是素数探究的一项重大突破. 麦森数有许多重要应用, 它与完全数密切相关. 所以, 给出一个P, 请计算出2P-1.

输入描述 Input Description

一个整数P.

输出描述 Output Description

第一行: 十进制高精度数2P-1的位数.
第2-21行: 十进制高精度数2P-1的最后1000位数字. (每行输出1000位, 共输出20行, 不足1000位时高位补0)

样例输入 Sample Input

1279

样例输出 Sample Output

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
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00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

数据范围及提示 Data Size & Hint

1000≤P<2147483647

我。。。我服。

思路：某种数学公式+高精+快速幂

代码实现：

 1 #include<cmath>
 2 #include<cstdio>
 3 #define mod 100000
 4 int p,s=1650;
 5 long long a[300],b[300],c[300],d;
 6 void write(long long x,int k){
 7     if(!k) return;
 8     write(x/10,k-1);
 9     putchar(x%10+‘0‘); 
10 }
11 void rid1(){
12     for(int i=0;i<=199;i++)
13     for(int j=0;i+j<=199;j++){
14         c[i+j]+=a[i]*b[j];
15         if(c[i+j]>=mod){
16             c[i+j+1]+=c[i+j]/mod;
17             c[i+j]%=mod;
18         }
19     }
20     for(int i=0;i<=199;i++) a[i]=c[i],c[i]=0;
21 }
22 void rid2(){
23     for(int i=0;i<=199;i++)
24     for(int j=0;i+j<=199;j++){
25         c[i+j]+=b[i]*b[j];
26         if(c[i+j]>=mod){
27             c[i+j+1]+=c[i+j]/mod;
28             c[i+j]%=mod;
29         }
30     }
31     for(int i=0;i<=199;i++) b[i]=c[i],c[i]=0;
32 }
33 int main(){
34     scanf("%d",&p);
35     printf("%d\n",(int)(log10(2)*p+1));
36     a[0]=1,b[0]=2;
37     while(p){
38         if(p&1) rid1();
39         rid2();
40         p=p>>1;
41     }
42     a[0]--;
43     for(int i=199,j=1;i>=0;i--,j++){
44         write(a[i],5);
45         if(j%10==0) putchar(‘\n‘);
46     }
47     return 0;
48 }

题目来源：洛谷,CODE[VS]