超大背包问题

Posted 2020-09-03 ZefengYao

题意：

有重和价值分别为wi,vi的n个物品。从这些物品中挑选出总质量不超过W的物品，求所有挑选出的方案中价值总量的最大值。

限制条件：1<=n<=40

              1<=wi,vi<=10^15

              1<=W<=10^15

思路：

此题如果用动态规划求解复杂度为O(nW),故不划算。

可以考虑折半搜索的方法，将所有的n个物品划分成数量对等的两部分，先穷举第一部分的每一种选取物品的情况，记录好每一种情况下的物品的重量w1和价值v1，之后进行挑选，挑选出性价比高的组合，

即如果选取两种情况有如下比较：w1[i]<=w1[j]且v1[i]>=v1[j],那说明情况i的组合总重量小并且价值又高，完全优于j，就可以把情况j给排除。

这样一来第一部分的所有情况经过筛选排序就会满足w1[i]<w1[j]且v1[i]<v1[j].

接下来再对第二部分进行枚举，对于第二部分枚举出来的每一种情况，都可以计算出相应的W-w2,其意义就是在第二部分选定了相应物品的情况下，可以继续装入的物品质量还剩下W-w2,那么剩下的这些质量要用第一部分尽可能

多的物品来填充，这时可以进行二分查找，找出一种组合，使得该组合的总质量小于等于W-w2且最接近于W-w2。穷举第二部分的所有情况，最终可以得到最优的价值总和！

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N_MAX = 40 + 2;
int n;
ll W;
ll w[N_MAX], v[N_MAX];
struct goodss {
    ll first, second;
    goodss(){}
    goodss(ll a,ll b):first(a),second(b){}
    bool operator <(const goodss&b)const {
        return first < b.first;
    }
};
goodss goods[1 << (N_MAX / 2)];
int main() {
    while (cin>>n) {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cin >>w[i];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cin >>v[i];
        cin >> W;

        for (int i = 0; i < 1 << (n / 2); i++) {//对于每一种情况而言
            ll w_sum = 0, v_sum = 0;
            for (int j = 0; j < (n / 2); j++) {
                if (i&(1 << j)) {
                    w_sum += w[j];////!!!!!!!!!
                    v_sum += v[j];
                }
            }
            goods[i] = goodss(w_sum,v_sum);
        }

        //去除一些性价比低的元素
        sort(goods,goods+(1<<(n/2)));
        int m = 1;
        for (int i = 1; i < (1 << (n / 2));i++) {
            if (goods[m - 1].second < goods[i].second) {//说明满足条件，筛选下来
                goods[m++] = goods[i];
            }
        }

        ll res = 0;
        for (int i = 0; i < 1 << (n - n / 2); i++) {//对于每一种情况得到的sum_v，都可以通过二分搜索唯一的找到一个不大于W-sum_w的max_w
            ll sum_v=0, sum_w = 0;
            for (int j = 0; j < (n - n / 2); j++) {
                if (i&(1 << j)) {
                    sum_w += w[j + n / 2];
                    sum_v += v[j + n / 2];
                }
            }
            if (sum_w <= W) {//!!已经取得的物品重量不能超过W
                ll max_v;
                if (W-sum_w >= goods[0].first) {//最多能够取入的重量太小的话，那么剩下的物品都将无法取得
                    goodss* tmp = lower_bound(goods, goods + m, goodss(W - sum_w, INT_MAX));
                    
                    if (tmp->first > (W - sum_w)) {
                        tmp--;
                    }
                    max_v = tmp->second;
                }
                else max_v = 0;//没法从剩余的物品中取得物品放入包中
                res = max(res,max_v+sum_v);
            }
        }
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}