BZOJ 2004: [Hnoi2010]Bus 公交线路 [DP 状压 矩阵乘法]

Posted 2020-09-03 Candy?

传送门

题意：

$n$个公交站点，$k$辆车，$1...k$是起始站，$n-k+1..n$是终点站

每个站只能被一辆车停靠一次

每辆车相邻两个停靠位置不能超过$p$

求方案数

$n \le 10^9,\ p \le 8,\ k \le 10$

---

 

思考过程中遇到的主要问题是“所有车是同时前进的”，既不能单独考虑一辆车又没法考虑前面的车队后面的影响

正确的做法是同时考虑所有车

每$p$个位置一定每辆车各停一次

$f[i][s]$表示当前在站点$i$，且$i$有车，$s$为车停靠状态

强制规定最靠左(即$i$处)的车先走避免重复

发现状态形成一个图，建立状态之间的邻接矩阵，就可以矩乘来算了

 

状态最多有$\binom{9}{5}=126$种，我$dfs$状态的时候省去了强制的$1$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=128,MOD=30031;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,k,p;
struct Matrix{
    int a[N][N];
    int* operator [](int x){return a[x];}
    Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
}g;
int st[N],m;
inline void mod(int &x){if(x>=MOD) x-=MOD;}
Matrix operator *(Matrix a,Matrix b){
    Matrix re;int n=m;
    for(int k=0;k<n;k++)
        for(int i=0;i<n;i++) if(a[i][k])
            for(int j=0;j<n;j++) if(b[k][j])
                mod(re[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]%MOD);
    return re;
}
Matrix operator ^(Matrix a,int b){
    Matrix re;int n=m;
    for(int i=0;i<n;i++) re[i][i]=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a)
        if(b&1) re=re*a;
    return re;
}
void dfs(int d,int num,int s){//printf("Dfs %d %d %d\n",d,num,s);
    if(num==0) {st[m++]=s;return;}
    for(int i=d;i<p-1;i++) dfs(i+1,num-1,s|(1<<i));
}
void build(){
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<m;j++){
            int s= st[i]^(st[j]>>1);//printf("build %d %d %d\n",st[i],st[j],s);
            if(s == (s&-s)) g[i][j]=1;
        }
}
int main(){
    freopen("in","r",stdin);
    n=read();k=read();p=read();
    dfs(0,k-1,0);
    //for(int i=0;i<m;i++) printf("st %d  %d\n",i,st[i]);
    build();
    //for(int i=0;i<m;i++) for(int j=0;j<m;j++) printf("%d%c",g[i][j],j==m-1?‘\n‘:‘ ‘);puts("");
    Matrix a,t=g^(n-k);
    
    //for(int i=0;i<m;i++) for(int j=0;j<m;j++) printf("%d%c",t[i][j],j==m-1?‘\n‘:‘ ‘);;puts("");
    a[0][0]=1;
    a=a*t;
    //for(int i=0;i<m;i++) for(int j=0;j<m;j++) printf("%d%c",a[i][j],j==m-1?‘\n‘:‘ ‘);puts("");
    printf("%d",a[0][0]);
}