next_permutation(全排列算法)

Posted 2020-08-30 Angel_Kitty

 STL提供了两个用来计算排列组合关系的算法，分别是next_permutation和prev_permutation。首先我们必须了解什么是“下一个”排列组合，什么是“前一个”排列组合。考虑三个字符所组成的序列{a,b,c}。

      这个序列有六个可能的排列组合：abc，acb，bac，bca，cab，cba。这些排列组合根据less-than操作符做字典顺序(lexicographical)的排序。也就是说，abc名列第一，因为每一个元素都小于其后的元素。acb是次一个排列组合，因为它是固定了a(序列内最小元素)之后所做的新组合。

      同样道理，那些固定b(序列中次小元素)而做的排列组合，在次序上将先于那些固定c而做的排列组合。以bac和bca为例，bac在bca之前，因为次序ac小于序列ca。面对bca，我们可以说其前一个排列组合是bac，而其后一个排列组合是cab。序列abc没有“前一个”排列组合，cba没有“后一个”排列组合。

     next_permutation()会取得[first,last)所标示之序列的下一个排列组合，如果没有下一个排列组合，便返回false;否则返回true。这个算法有两个版本。版本一使用元素型别所提供的less-than操作符来决定下一个排列组合，版本二则是以仿函数comp来决定。

算法思想：

1.首先从最尾端开始往前寻找两个相邻元素，令第一元素为*i,第二元素为*ii,且满足*i<*ii。

2.找到这样一组相邻元素后，再从最尾端开始往前检验，找出第一个大于*i的元素，令为*j，将i,j元素对调(swap)。

3.再将ii之后的所有元素颠倒(reverse)排序。

 

   举个实例，假设有序列{0,1,2,3,4}，下图便是套用上述演算法则，一步一步获得“下一个”排列组合。图中只框出那符合“一元素为*i,第二元素为*ii,且满足*i<*ii ”的相邻两元素，至于寻找适当的j、对调、逆转等操作并未显示出。

以下便是版本一的实现细节。版本二相当类似，就不列出来了。

 1 template<calss BidrectionalIterator>
 2 bool next_permutation(BidrectionalIterator first,BidrectionalIterator last)
 3 {
 4     if(first == lase) return false; /* 空区间 */
 5     BidrectionalIterator i = first;
 6     ++i;
 7     if(i == last) return false;  /* 只有一个元素 */
 8     i = last;                    /* i指向尾端 */  
 9     --i;
10     for(;;)
11     {
12         BidrectionalIterator ii = i;
13         --i;
14         /* 以上锁定一组(两个)相邻元素 */
15         if(*i < *ii)           /* 如果前一个元素小于后一个元素 */
16         {
17             BidrectionalIterator j = last; /* 令j指向尾端 */
18             while(!(*i < *--j));     /* 由尾端往前找，直到遇到比*i大的元素 */
19             iter_swap(i,j);          /* 交换i,j */
20             reverse(ii,last);        /* 将ii之后的元素全部逆序重排 */
21             return true;
22         }
23         if(i == first)       /* 进行至最前面了 */
24         {
25             reverse(first,last);    /* 全部逆序重排 */
26             return false;
27         }
28     }
29 }

 

简单应用

输出序列{1,2,3,4}字典序的全排列。

[代码实现]

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 int main()
 5 {
 6     int ans[4]={1,2,3,4};
 7     sort(ans,ans+4);    /* 这个sort可以不用，因为{1，2，3，4}已经排好序*/
 8     do                             /*注意这步，如果是while循环，则需要提前输出*/
 9     {
10         for(int i=0;i<4;++i)
11             cout<<ans[i]<<" ";
12         cout<<endl;
13     }while(next_permutation(ans,ans+4));
14     return 0;
15 }

 

拓展

1.能否直接算出集合{1, 2, ..., m}的第n个排列？

举例说明：如7个数的集合为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，要求出第n=1654个排列。

(1654 / 6!)取整得2，确定第1位为3（从0开始计数），剩下的6个数{1, 2, 4, 5, 6, 7}，求第1654 % 6!=214个序列；

(214 / 5!)取整得1，确定第2位为2，剩下5个数{1, 4, 5, 6, 7}，求第214 % 5!=94个序列；

(94 / 4!)取整得3，确定第3位为6，剩下4个数{1, 4, 5, 7}，求第94 % 4!=22个序列；

(22 / 3!)取整得3，确定第4位为7，剩下3个数{1, 4, 5}，求第22 % 3!=4个序列；

(4 / 2!)得2，确定第5为5，剩下2个数{1, 4}；由于4 % 2!=0，故第6位和第7位为增序<1 4>；

因此所有排列为：3267514。

[代码实现]

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 int main()
 5 {
 6     int ans[7]={1,2,3,4,5,6,7};
 7     sort(ans,ans+7);  /* 同上可以不用sort */
 8     int n=0; 
 9     do                             //注意这步，如果是while循环，则需要提前输出
10     {
11         if(n == 1654)
12         {
13              for(int i=0;i<7;++i)
14             cout<<ans[i];
15             cout<<endl;
16             break;
17         }
18         n++;
19      }while(next_permutation(ans,ans+7));
20     return 0;
21 }

 

2. 给定一种排列，如何算出这是第几个排列呢？

和前一个问题的推导过程相反。例如3267514：

后6位的全排列为6!，3为{1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7}中第2个元素（从0开始计数），故2*720=1440；

后5位的全排列为5!，2为{1, 2, 4, 5, 6, 7}中第1个元素，故1*5!=120；

后4位的全排列为4!，6为{1, 4, 5, 6, 7}中第3个元素，故3*4!=72；

后3位的全排列为3!，7为{1, 4, 5, 7}中第3个元素，故3*3!=18；

后2位的全排列为2!，5为{1, 4, 5}中第2个元素，故2*2!=4；

最后2位为增序，因此计数0，求和得：1440+120+72+18+4=1654

这个的代码实现，可以用一个数组a保存3267514,然后while调用next_permutation(),用n计数，每次与数组a比较，相等则输出n;