[算法]——全排列（Permutation）以及next_permutation

Posted 2020-08-26 eudiwffe

排列（Arrangement），简单讲是从N个不同元素中取出M个，按照一定顺序排成一列，通常用A(M,N)表示。当M=N时，称为全排列（Permutation）。从数学角度讲，全排列的个数A(N,N)=(N)*(N-1)*...*2*1=N!，但从编程角度，如何获取所有排列？那么就必须按照某种顺序逐个获得下一个排列，通常按照升序顺序获得下一个排列。

例如对于一个集合A={1,2,3,}，首先获取全排列a1: 1,2,3,；然后获取下一个排列a2: 1,3,2,；按此顺序，A的全排列如下：

a1: 1,2,3;　　a2: 1,3,2;　　a3: 2,1,3;　　a4: 2,3,1;　　a5: 3,1,2;　　a6: 3,2,1;　　共6种。

1）下一个全排列（Next Permutation）

对于给定的任意一种全排列，如果能求出下一个全排列的情况，那么求得所有全排列情况就容易了。好在STL中的algorithm已经给出了一种健壮、高效的方法，下面进行介绍。

设目前有一个集合的一种全排列情况A : 3,7,6,2,5,4,3,1，求取下一个排列的步骤如下：

/** Tips: next permuation based on the ascending order sort
 * sketch :
 * current: 3   7  6  2  5  4  3  1  .
 *                    |  |     |     |
 *          find i----+  j     k     +----end
 * swap i and k :
 *          3   7  6  3  5  4  2  1  .
 *                    |  |     |     |
 *               i----+  j     k     +----end
 * reverse j to end :
 *          3   7  6  3  1  2  4  5  .
 *                    |  |     |     |
 *          find i----+  j     k     +----end
 * */

具体方法为：

a）从后向前查找第一个相邻元素对(i,j)，并且满足A[i] < A[j]。

易知，此时从j到end必然是降序。可以用反证法证明，请自行证明。

b）在[j,end)中寻找一个最小的k使其满足A[i]<A[k]。

由于[j,end)是降序的，所以必然存在一个k满足上面条件；并且可以从后向前查找第一个满足A[i]<A[k]关系的k，此时的k必是待找的k。

c）将i与k交换。

此时，i处变成比i大的最小元素，因为下一个全排列必须是与当前排列按照升序排序相邻的排列，故选择最小的元素替代i。

易知，交换后的[j,end)仍然满足降序排序。因为在(k,end)中必然小于i，在[j,k)中必然大于k，并且大于i。

d）逆置[j,end)

由于此时[j,end)是降序的，故将其逆置。最终获得下一全排序。

注意：如果在步骤a)找不到符合的相邻元素对，即此时i=begin，则说明当前[begin,end)为一个降序顺序，即无下一个全排列，STL的方法是将其逆置成升序。

2）Next Permutation代码

// STL next permutation base idea
int next_permutation(int *begin, int *end)
{
	int *i=begin, *j, *k;
	if (i==k || ++i==k) return 0;	// 0 or 1 element, no next permutation
	for (i=end-1; i!=begin;) {
		j = i--;	// find last increasing pair (i,j)
		if (!(*i < *j)) continue;
		// find last k which not less than i,
		for (k=end; !(*i < *(--k)););
		iter_swap(i,k);
		// now the range [j,end) is in descending order
		reverse(j,end);
		return 1;
	}
	// current is in descending order
	reverse(begin,end);
	return 0;
}

 上面仅仅是STL中next_permutation的主要思路，原版是C++迭代器版，这里为了便于理解，改成了C的指针版本。

当返回为1时，表示找到了下一全排列；返回0时，表示无下一全排列。注意，如果从begin到end为降序，则表明全排列结束，逆置使其还原到升序。

3）使用next_permutation

如何获取所有全排列情况？STL中的代码非常精妙，利用next_permutation的返回值，判断是否全排列结束（否则将死循环）。对于给定的一个数组，打印其所有全排列只需如下：

// Display All Permutation
void all_permutation(int arr[], int n)
{
	sort(arr,arr+n);	// sort arr[] in ascending order
	do{
		for(int i=0; i<n; printf("%d ",arr[i++]));
		printf("\n");
	}while(next_permutation(arr,arr+n));
}

如果一个数组arr[]中存在重复元素，next_permutation是否工作正常呢？注意第8和10行，STL使用“!(*i < *j)”进行判断大小，若相等则继续寻找，这样就会跳过重复的元素，进而跳过重复的全排列（如：1,2,2; 和1,2,2）。有人会认为直接使用“*i>=*j”更清晰，对于int这种进本数据类型而言，这并没问题。然而，对于结构体甚至C++而言，元素是一个用户自定义数据类型，如何判断其大小？再退一步讲，如何进行排序？STL追求健壮、高效和精妙，对于用户自定义数据类型的排序，可以增加函数指针或者仿函数（Functional），只需要给定“a<b”的方法（如less(a,b)）即可。如需求“a>b”可以转化成“b<a”；求“a==b”可以转化成“!(a<b) && !(b<a)”；求“a>=b”可以转化成“!(a<b)”。因此，一般自定义比较器只需要给定less()即可（对于C++而言，即重载操作符operator<）。

有了全排列，那么排列问题A(M,N)则解决了一半，直接从A中选择选择M个元素，然后对这M个元素进行全排列。其中前一步为组合（Combination），记为(M,N)，感兴趣的可以自己解决。

4）前一个全排列（prev_permutation）

与next_permutation类似，STL也提供一个版本：

// STL prev permutation base idea
int prev_permutation(int *begin, int *end)
{
	int *i=begin, *j, *k;
	if (i==k || ++i==k) return 0;	// 0 or 1 element, no prev permutation
	for (i=end-1; i!=begin;) {
		j = i--;	// find last decreasing pair (i,j)
		if (!(*i > *j)) continue;
		// find last k which less than i,
		for (k=end; !(*i > *(--k)););
		iter_swap(i,k);
		// now the range [j,end) is in ascending order
		reverse(j,end);
		return 1;
	}
	// current is in ascending order
	reverse(begin,end);
	return 0;
}

这里不再详细介绍。