17.2.10 NOIP模拟赛 藏妹子之处（excel）

Posted 2020-08-30 り挽歌、花开花落的流年

藏妹子之处（excel）

问题描述：

今天CZY又找到了三个妹子，有着收藏爱好的他想要找三个地方将妹子们藏起来，将一片空地抽象成一个R行C列的表格，CZY要选出3个单元格。但要满足如下的两个条件：

（1）任意两个单元格都不在同一行。

（2）任意两个单元格都不在同一列。

选取格子存在一个花费，而这个花费是三个格子两两之间曼哈顿距离的和（如(x1,y1)和(x,y2)的曼哈顿距离为|x1-x2|+|y1-y2|）。狗狗想知道的是，花费在minT到maxT之间的方案数有多少。

答案模1000000007。所谓的两种不同方案是指：只要它选中的单元格有一个不同，就认为是不同的方案。

输入格式：

 一行，4个整数，R、C、minT、maxT。3≤R,C≤4000, 1≤minT≤maxT≤20000。

对于30%的数据, 3 ≤ R, C ≤ 70。 

输出格式:

 一个整数，表示不同的选择方案数量模1000000007后的结果。

输入输出样例：

输入样例	3 3 1 20000	3 3 4 7	4 6 9 12	7 5 13  18	4000 4000  4000  14000
输出样例	6	0	264	1212	859690013

这题感觉非常坑……

1、首先暴力枚举三个点是n^6做法、TLE……

 

2、发现对于三个点(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)，如果任意交换坐标费用不变，即如果换成(x2,y1)(x3,y2)(x1,y3)费用不变

所以题意=枚举3个横坐标和三个纵坐标，算合理的方案数

对于x1,x2,x3 , y1,y2,y3，若有x1<x2<x3 , y1<y2<y3，则方案的费用是2(x3-x1)+2(y3-y1).

不妨令x1<x2<x3 , y1<y2<y3，则最后方案数乘6即为答案（由排列组合易得）

枚举x1,y1,令s=2(x1+y1)则满足 minT<=2(x3-x1)+2(y3-y1)<=maxT  即(minT+s)/2<=x3+y3<=(maxT+s)/2的(x3,y3)才可以。则(x3,y3)对答案的更新即是(x2,y2)的个数，即(x3-x1-1)*(y3-y1-1).这样枚举两个点n^4、TLE……

 

3、限定x3=k,则(minT+s)/2-k<=y3<=(maxT+s)/2-k.且y1+2<=y3<=c.

第三个点(k,???)对答案的更新是(k-x1-1)*Σ[(minT+s)/2-k-y1-1到(maxT+s)/2-k-y1-1]

令S=(minT+s)/2-y1-1,T=(maxT+s)/2-k-y1-1,则对于x3=k,方案是(k-x1-1)*Σ[S-k到T-k]=(k-x1-1)*(S-T+1)*(S+T-2k) 

这样枚举x1,y1,x3，效率n^3、TLE……

 

4、正解是我最后才想出来的。其实这题跟CQOI2014数三角形很像。(x1,y1)和(x3,y3)构成一个矩形，但是对于一个确定的矩形边框，它的费用是一定的，就是2(x3-x1)+2(y3-y1)即矩形的边长。它对答案的贡献也是一定的，即(x3-x1-1)*(y3-y1-1)。这个矩形在r*c的大矩形中出现的次数也是给定的，设矩形长为x,宽为y，则出现了(r-x+1)*(c-y+1)次。那么直接枚举矩形的边长，然后就可以算出答案。这样n^2、AC啦……

 

5、千古神犇黄巨大指出，可以套上数据结构维护，这样变成nlogn了。这我没写……

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #define mod 1000000007
 4 #define LL long long
 5 using namespace std;
 6 LL ans;
 7 int n,m,mx,mn;
 8 int main()
 9 {
10     freopen("excel.in","r",stdin);
11     freopen("excel.out","w",stdout);
12     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&mn,&mx);
13     for (int i=3;i<=n;i++)
14       for (int j=3;j<=m;j++)
15       {
16         int w=2*(i+j-2);
17         if (w<=mx&&w>=mn)ans+=(LL) (n-i+1)*(m-j+1)*(i-2)*(j-2)%mod;
18       }
19     printf("%lld\n",(ans*6)%mod);
20 }