算法——算法时间复杂度的计算和大O阶的推导

Posted 2020-08-30

在算法分析中，我们将语句总的执行次数记为T(n)进而分析T(n)随n的变化情况确认T(n)的数量级。一般情况下，T(n)随n增大变化最缓慢的算法为最优算法。

根据定义，T(n)的求法是很简单的，也就是简单的数数。举个例子：

int i;
for(i=0;i<n;i++);

这里int执行一次，for循环里的语句执行n次，所以T(n)=n+1;但是当n变大时，这个常数就显得无足轻重了，所以它的算法复杂度为O(n)。

同样的，对于下面的代码：

int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
    for(j=0;j<n;j++);

这里int执行一次，嵌套的for执行了n*n次，所以T(n)=n²+1;同理，它的复杂度为O(n²)。

那么，下面的代码算法复杂度为多少呢？

int i,j;
  for(i=0;i<n;i++)
    for(j=i;j<n;j++);

 

这段代码，int执行一次，下面的for执行了n+(n-1)+(n-2)+...+1次，所以Ｔ(n)=1+(1+n)*n/2=n²/2+n/2+1。当n增大时，1和n/2都显得无足轻重了，只剩下n²/2,但是之前说过大O只考虑阶数，所以复杂度应该为O(n²)

再来看看下面的代码：

int i=1;
while(i<n)
    i*=2;

每次执行i都乘以2，设执行次数为x，那么2^x≥n，我们只取等于的情况，得到x=log₂n。所以这个循环的复杂度为O(logn)，底数大小其实在n很大的时候是无足轻重的，所以不做考虑。

 

上面就是常见的复杂度。我们总结下如何从T(n)变为O(T(n))

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首先，推导出T(n)

将T(n)内的加法常数项改为1。

只保留多项式中的最高阶项。

如果最高阶项不是1，那么去除它的系数和常数项。

得到的结果就是大O阶。