一文彻底掌握时间复杂度和大O表示法(整理)

Posted 2022-06-22 渔夫数据库笔记

预备知识：

计算机基础知识
高中数学知识
时间复杂度用来干嘛
时间复杂度是衡量算法好坏的一个重要指标，另一个重要指标是空间复杂度。

算法
我们先来了解一下算法，对于一个计算机程序，其算法就是其内部执行的各种逻辑的执行步骤。

算法既然是计算机上的程序的逻辑执行步骤，那他运行的过程中，必须是需要占用计算机的cpu和存储空间。其中使用cpu计算的总次数的数量级，就以时间复杂度来标识（因为往往运算的次数和时间是成正比的，次数多，使用的时间就多），符号为大写O。

时间复杂度的定义
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数（算法中操作执行次数函数），用T(n)表示。

若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O是数量级的符号 )，简称时间复杂度。

上面这一句我用大白话翻译一下：因为操作执行次数函数，往往含有较多的项，为了让时间复杂度更清晰明了的标识算法好坏，需要找到一个很简单的同数量级函数来替代。例如：

假设一个算法的执行次数计算公式如下

T(n) = 2 + 4n + 3n*log2n

可以找到一个函数

f(n) = n*log2n

得到

lim(T(n)/f(n))  =  (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)
                = 2*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3

当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0，所以极限等于3。上面的lim就是极限的意思

基本的计算步骤
计算出基本操作的执行次数T(n)

基本操作即算法中的每条语句，语句的执行次数也叫做语句的频度。

计算出T(n)的数量级 ( 即找到辅助函数f(n) )

求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作：

忽略常量（常量可以看做0次幂，但是如果只有常量情况就变成了特殊的O(1)，后面有讲）
忽略低次幂
忽略最高次幂的系数（如果最高次存在）
令f(n)=T(n)的数量级。

用大O来表示时间复杂度

当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。

实例说明

int n;
int num1, num2;
for(int i=0; i<n; i++) 
   num1 += 1;
   for(int j=1; j<=n; j*=2) 
   num2 += num1;
    
 

按照上面的步骤分析：

1.计算出基本操作的执行次数T(n)
语句int n;的频度为1；

语句int num1, num2;的频度为1；

语句i=0;的频度为1；

语句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的频度为n；

语句j<=n; j*=2; num2+=num1;的频度为n*log2n；

T(n) = 3 + 4n + 3n*log2n

2.计算出T(n)的数量级 ( 即找到辅助函数f(n) )
忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数

f(n) = n*log2n

3.用大O来表示

lim(T(n)/f(n))      = (3+4n+3n*log2n) / (n*log2n)
                    = 3*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3

当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0
所以极限等于3。

T(n) = O(n*log2n)

特殊的O（1）
在大O表示法里面有一个特例，如果T(n) ＝ c， c是一个与n无关的任意非零常数，时间复杂度记为O(1)。推导过程我们就不讲了。

题外话：
频度和时间的不绝对关联
这期间需要一些数学知识来进行公式变换和函数计算，并且，这里的频度，代表的是一种次数，而不是计算时间。

这是因为一个语句的执行，实际会被翻译成多条计算机指令，在不同的编辑器和不同的机器上都可能有不同的表现（比如乘法指令可能被翻译为计算机的加法，除法指令可能被翻译为位移操作等）。所以一般来说时间复杂度都是概略的估计，而不是一种精确地表示。

n需要无穷大
算法的优异在n比较小的时候可能没有太大差异，甚至优秀的算法，有可能在n比较小的时候，计算次数会更多。这个时候算法的优劣带来的问题并不明显，一般没有太大讨论的意义。

一个数量级大小判断经验
复杂度与时间效率的关系：

c < log2n < n < n*log2n < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n! （c是一个常量）
|--------------------------|--------------------------|-------------|
          较好                     一般              较差
          
其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2n 、n 、 n*log2n,那么这个算法时间效率比较高 
如果是 2^n , 3^n ,n!,算法效率就比较低（当然也会有一些没有办法优化的代码）
中间的几个效率尚可。

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一些补充说明
最坏时间复杂度
    算法的时间复杂度不仅与语句频度有关，还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。

求数量级
即求对数值(log)，默认底数为10，简单来说就是“一个数用标准科学计数法表示后，10的指数”。例如，5000=5x10 3 (log5000=3) ，数量级为3。另外，一个未知数的数量级为其最接近的数量级，即最大可能的数量级。

求极限的技巧
要利用好1/n。当n趋于无穷大时，1/n趋向于0

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一些规则(引自：时间复杂度计算 )
1) 加法规则
T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O (max ( f(n), g(m) )

2) 乘法规则
T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))

3) 一个特例（问题规模为常量的时间复杂度）
在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) ＝ O(c)， c是一个与n无关的任意常数，T2(n) = O ( f(n) ) 则有
T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) )

也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。

4) 一个经验规则
复杂度与时间效率的关系：
c < log2n < n < n*log2n < n2 < n3 < 2n < 3n < n! （c是一个常量）
|--------------------------|--------------------------|-------------|
          较好                     一般              较差
其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2n 、n 、 n*log2n,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是 2n , 3n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。

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复杂情况的分析

以上都是对于单个嵌套循环的情况进行分析，但实际上还可能有其他的情况，下面将例举说明。

1.并列循环的复杂度分析
将各个嵌套循环的时间复杂度相加。

例如：

　　for (i=1; i<=n; i++)
　　    x++;

　　for (i=1; i<=n; i++)
　　    for (j=1; j<=n; j++)
　　        x++;

解：
第一个for循环
T(n) = n
f(n) = n
时间复杂度为Ο(n)

第二个for循环
T(n) = n2
f(n) = n2
时间复杂度为Ο(n2)

整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2) = Ο(n2)。

2.函数调用的复杂度分析
例如：
public void printsum(int count)
    int sum = 1;
    for(int i= 0; i<n; i++)
       sum += i;
       
    System.out.print(sum);


分析：
记住，只有可运行的语句才会增加时间复杂度，因此，上面方法里的内容除了循环之外，其余的可运行语句的复杂度都是O(1)。
所以printsum的时间复杂度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)

*这里其实可以运用公式 num = n*(n+1)/2，对算法进行优化，改为：
public void printsum(int count)
    int sum = 1;
    sum = count * (count+1)/2;   
    System.out.print(sum);

这样算法的时间复杂度将由原来的O(n)降为O(1)，大大地提高了算法的性能。

3.混合情况（多个方法调用与循环）的复杂度分析
例如：
public void suixiangMethod(int n)
    printsum(n);//1.1
    for(int i= 0; i<n; i++)
       printsum(n); //1.2
   
    for(int i= 0; i<n; i++)
       for(int k=0; k
        System.out.print(i,k); //1.3
     
 
suixiangMethod 方法的时间复杂度需要计算方法体的各个成员的复杂度。
也就是1.1+1.2+1.3 = O(1)+O(n)+O(n2) ----> 忽略常数 和 非主要项 == O(n2)

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更多的例子

O(1)
交换i和j的内容
temp=i;
i=j;
j=temp;                    

以上三条单个语句的频度为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n2)
    sum=0；                /* 执行次数1 */
    for(i=1;i<=n;i++)      
       for(j=1;j<=n;j++)
         sum++；       /* 执行次数n2 */
解：T(n) = 1 + n2 = O(n2)

   for (i=1;i<n;i++)
  
       y=y+1;        ①   
       for (j=0;j<=(2*n);j++)    
          x++;        ②      
            
解：  语句1的频度是n-1
         语句2的频度是(n-1)*(2n+1) = 2n2-n-1
         T(n) = 2n2-n-1+(n-1) = 2n2-2
         f(n) = n2
         lim(T(n)/f(n)) = 2 + 2*(1/n2) = 2
         T(n) = O(n2).

O(n)                                         
   a=0;
   b=1;                     ①
   for (i=1;i<=n;i++) ②
    
      s=a+b;　　　　③
      b=a;　　　　　④  
      a=s;　　　　　⑤
  
解：  语句1的频度：2,        
         语句2的频度：n,        
         语句3的频度：n,        
         语句4的频度：n,    
         语句5的频度：n,                                  
         T(n) = 2+4n
         f(n) = n
         lim(T(n)/f(n)) = 2*(1/n) + 4 = 4
         T(n) = O(n).     
                                                                            
O(log2n)
   i=1;       ①
   while (i<=n)
      i=i*2; ②
解： 语句1的频度是1, 
       设语句2的频度是t,  则：nt<=n;  t<=log2n
       考虑最坏情况，取最大值t=log2n,
        T(n) = 1 + log2n
        f(n) = log2n
        lim(T(n)/f(n)) = 1/log2n + 1 = 1
        T(n) = O(log2n)

 O(n3)
   for(i=0;i<n;i++)
    
      for(j=0;j<i;j++) 
     
         for(k=0;k<j;k++)
            x=x+2; 
     
  
解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 ,  所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次
T(n) = n(n+1)(n-1)/2 = (n3-n)/2
f(n) = n3
所以时间复杂度为O(n3)。