算法图解1 - 二分查找和大O表示法

Posted 2021-04-10 Android开发中文站

闲来无事，翻了翻《算法图解》，觉得收获颇多，所以会陆续整理成笔记，纪录学习过程。嗯，第一篇先来看看二分查找和大O表示法吧。

一、二分查找

二分查找是一种算法，其输入是一个有序的元素列表（必须有序的原因稍后解释）。如果要查找的元素包含在列表中，二分查找返回其位置；否则返回 null 。

一般而言，对于包含 n 个元素的列表，用二分查找最多需要 log2 n 步，而简单查找最多需要 n 步。

很多童鞋可能忘了倒数如何计算，这里我们先复习一下：对数运算是幂运算的逆运算。看看下面的公式，是不是有点回忆起来了。

我们通过 JS 来实现一下思路：

  
    
    
  

   
     
     
   /**
   
     
     
   
 * @msg: 二分查找
   
     
     
   
 * @param {
   
     
     
   Array} 数组
   
     
     
   
 * @param {
   
     
     
   String} 数值
   
     
     
   
 * @return: index
   
     
     
   
 */
   
     
     
   

   
     
     
   const binarySearch = (arr, val) => {
   
     
     
   
  
   
     
     
   let start = 
   
     
     
   0;
   
     
     
   
  
   
     
     
   let 
   
     
     
   end = arr.length - 
   
     
     
   1;
   
     
     
   
  
   
     
     
   let guess;
   
     
     
   

   
     
     
   
  
   
     
     
   while (start <= 
   
     
     
   end) {
   
     
     
   
    
   
     
     
   let 
   
     
     
   mid = Math.ceil((start + 
   
     
     
   end) / 
   
     
     
   2);
   
     
     
   
    guess = arr[
   
     
     
   mid];
   
     
     
   
    
   
     
     
   if (guess === val) return 
   
     
     
   mid;
   
     
     
   
    
   
     
     
   if (guess > val) {
   
     
     
   
      
   
     
     
   end = 
   
     
     
   mid - 
   
     
     
   1;
   
     
     
   
    } 
   
     
     
   else {
   
     
     
   
      start = 
   
     
     
   mid + 
   
     
     
   1;
   
     
     
   
    }
   
     
     
   
  }
   
     
     
   
  return 
   
     
     
   -1;
   
     
     
   
}
   
     
     
   

   
     
     
   
binarySearch([
   
     
     
   1, 
   
     
     
   3, 
   
     
     
   5, 
   
     
     
   7, 
   
     
     
   9], 
   
     
     
   3);
   
     
     
   

  
    
    
  

一般而言，应选择效率最高的算法，以最大限度地减少运行时间或占用空间。

按照上面的思路，我们使用二分查找实现了这个函数。嗯，看起来不错，我们来看看他的运行时间。

二、运行时间

先来看一个概念：

线性时间（linear time）：最多需要猜测的次数与列表长度相同，这被称为线性时间。
我们举个例子来说：简单查找逐个地检查数字，如果列表包含 100 个数字，最多需要猜 100 次。如果列表包含 40 亿个数字，最多需要猜 40 亿次。

二分查找则不同：如果列表包含 100 个元素，最多要猜 7 次；如果列表包含 40 亿个数字，最多需猜 32 次。

可以看出来，对比线性查找来说，二分查找效率出奇的高。

既然提到运行时间，那么我们一般如何来计量呢？

三、大O表示法

大O表示法：是一种特殊的表示法，指出了算法的速度有多快。。

通过上图，我们不难看出来：

随着元素数量的增加，二分查找需要的额外时间并不多，而简单查找需要的额外时间却很多。因此，随着列表的增长，二分查找的速度比简单查找快得多。

有鉴于此，仅知道算法需要多长时间才能运行完毕还不够，还需知道运行时间如何随列表增长而增加。这正是大O表示法的用武之地。使用大O表示法，这个运行时间为 O (n )。单位秒呢？没有——大O表示法指的并非以秒为单位的速度。

大O表示法让你能够比较操作数，它指出了算法运行时间的增速。

需要注意：大O表示法计算的是操作数。

这里有个问题：

如果要查找的是 Adit ——电话簿中的第一个人，一次就能找到，无需查看每个条目。考虑到一次就找到了 Adit，请问这种算法的运行时间是 O(n) 还是 O(1) 呢？

大O表示法说的是最糟的情形。

因此，你可以说，在最糟情况下，必须查看电话簿中的每个条目，对应的运行时间为 O(n)。这是一个保证——你知道简单查找的运行时间不可能超过 O(n)。

四、5种常见大O运行时间

• 对数时间：O (log n )，二分查找
• 线性时间：O (n ) ，简单查找
• O (n * log n )，快速排序——一种速度较快的排序算法
• O (n 2 )，选择排序——一种速度较慢的排序算法
• O (n !)，旅行商问题的解决方案——一种非常慢的算法

我们来举个例子，绘制一个包含 16 格的网格，且有 5 种不同的算法可供选择，下面按从快到慢的顺序列出了使用这些算法绘制网格所需的时间：

这就有意思了，通过上面的图示，我们得到几点启示

1. 算法的速度指的并非时间，而是操作数的增速。
2. 谈论算法的速度时，我们说的是随着输入的增加，其运行时间将以什么样的速度增加。
3. 算法的运行时间用大O表示法表示。
4. O (log n ) 比 O (n ) 快，当需要搜索的元素越多时，前者比后者快得越多。

五、旅行商问题

上面提到了一种运行时间为 O (n !) 的算法，提到了旅行商问题，这里我们来扩展一下。

这着实困扰着很多人，一位旅行商要去往 5 个城市，如何确保旅程最短，5 个城市有 120 种不同的排列方式。涉及 n 个城市时，需要执行 n!（ n 的阶乘）次操作才能计算出结果。因此运行时间为 O(n!)，即阶乘时间。

5 个城市，有 5 种选择，去到一个城市之后，还有 4 种选择，以此类推：5 43 21 = 5! = 120

旅行商问题(TravelingSalesmanProblem，TSP )是一个经典的组合优化问题。经典的 TSP 可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，该推销员从一个城市出发，需要经过所有城市后，回到出发地。应如何选择行进路线，以使总的行程最短。

从图论的角度来看，该问题实质是在一个带权完全无向图中，找一个权值最小的 Hamilton 回路。

由于该问题的可行解是所有顶点的全排列，随着顶点数的增加，会产生组合爆炸，它是一个 NP 完全问题。

由于其在交通运输、电路板线路设计以及物流配送等领域内有着广泛的应用，国内外学者对其进行了大量的研究。早期的研究者使用精确算法求解该问题，常用的方法包括：分枝定界法、线性规划法、动态规划法等。

但是，随着问题规模的增大，精确算法将变得无能为力，因此，在后来的研究中，国内外学者重点使用近似算法或启发式算法，主要有遗传算法、模拟退火法、蚁群算法、禁忌搜索算法、贪婪算法和神经网络等。

突然发现，算法的世界真的很大，而很多实际问题都是通过算法解决的。

所以，花些时间了解一下经典算法，也算是提高自己的核心竞争力。