二维费用的背包问题

Posted 2020-08-29

问题 　　　

二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。

问怎样选择物品可以得到最大的价值。

设这两种代价分别为代价1和代价2，第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为V和U。物品的价值为c[i]。

算法 　　

费用加了一维，只需状态也加一维即可。

设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。 　　

状态转移方程就是：f [i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+c[i]}。

如前述方法，可以只使用二维的数组：当每件物品只可以取一次时变量v和u采用逆序的循环，当物品有如完全背包问题时采用顺序的循环。

当物品有如多重背包问题时拆分物品。 物品总个数的限制 　　有时，“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的：最多只能取M件物品。

这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用，每个物品的件数费用均为1，可以付出的最大件数费用为M。

换句话说，

设f[v][m]表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值，则根据物品的类型（01、完全、多重）用不同的方法循环更新，最后在f[0..V][0..M]范围内寻找答案。

另外，如果要求“恰取M件物品”，则在f[0..V][M]范围内寻找答案。

【例5】潜水员

【问题描述】

    潜水员为了潜水要使用特殊的装备。他有一个带2种气体的气缸：一个为氧气，一个为氮气。让潜水员下潜的深度需要各种的数量的氧和氮。潜水员有一定数量的气缸。每个气缸都有重量和气体容量。潜水员为了完成他的工作需要特定数量的氧和氮。他完成工作所需气缸的总重的最低限度的是多少？

    例如：潜水员有5个气缸。每行三个数字为：氧，氮的（升）量和气缸的重量：

    3 36 120

    10 25 129

    5 50 250

    1 45 130

    4 20 119

    如果潜水员需要5升的氧和60升的氮则总重最小为249（1，2或者4，5号气缸）。

    你的任务就是计算潜水员为了完成他的工作需要的气缸的重量的最低值。

【输入格式】

  第一行有2整数m,n（1<=m<=21,1<=n<=79）。它们表示氧，氮各自需要的量。

  第二行为整数k（1<=n<=1000）表示气缸的个数。

  此后的k行，每行包括ai，bi，ci（1<=ai<=21，1<=bi<=79，1<=ci<=800）3整数。这些各自是：第i个气缸里的氧和氮的容量及汽缸重量。

【输出格式】

  仅一行包含一个整数，为潜水员完成工作所需的气缸的重量总和的最低值。

参考程序

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<algorithm>

#include<cstring>

using namespace std;

int m,n,k;

int a[1005],b[1005],c[1005];

int f[101][101];

int main()

{

scanf("%d%d",&m,&n);

scanf("%d",&k);

for(int i=1;i<=k;i++)

   scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);

memset(f,127,sizeof(f));

f[0][0]=0;

for(int i=1;i<=k;i++)

  for(int j=m;j>=0;j--)//枚举氧含量

     for(int k=n;k>=0;k--)//枚举氮含量

        {

         int t1=j+a[i],t2=k+b[i];//含量

         if(t1>m) t1=m;//若含量超过需求，直接用需求代替

         if(t2>n) t2=n;

         if(f[t1][t2]>f[j][k]+c[i])  

           f[t1][t2]=f[j][k]+c[i];

}

  printf("%d",f[m][n]);

  return 0;

}