正交矩阵,酉矩阵,正规矩阵 概念

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理清概念,在机器学习的公式推导中常常用到。比如SVD, LDA

  • 酉变换,正交变换
  • 正规矩阵
  • 酉矩阵
  • 正交矩阵
  • 对角化
  • 对角阵
  • 正定阵

正交变换

  • 正交变换是保持图形形状和大小不变的几何变换,包含旋转,轴对称及上述变换的复合。
  • 例子:
    •  tbd

正规矩阵

  • $A^* A = A A^*$ A 乘以自己的共轭转置($A^*$) 等于 ($A^*$) 乘以自己,A是方块阵。
  • 如果A是实系数矩阵,则$A^*= A^T  $,从而条件简化为 $A^T A=A A^T$ 
  • 任意正规矩阵 都可以经过 正交变换 变成 对角矩阵,反过来,可以经过一个 正交变换 成为对角矩阵的矩阵 都是正规矩阵
  • 矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法
  • 在复系数矩阵中,所有 酉矩阵 都是 正规的;在实系数 矩阵中,正交矩阵 都是正规矩阵
  • 例子:
    •   技术分享
    • 技术分享.

酉矩阵

  • 特殊的正规矩阵 $U^* U = U U^* = I_n$
  • $U, U^* $都是酉矩阵
  • 酉矩阵的特征值都是模为1的复数,即分布在复平面的单位圆上,因此酉矩阵行列式的值也为1
  • 酉矩阵 与对角阵关系 $U = V \Sigma V^* $ V 是酉矩阵,$\Sigma$ 是主对角线上元素绝对值为1的对角阵
  • 例子

正交矩阵 orthogonal matrix

  • 方块矩阵,元素是实数,行与列都是正交的单位向量,他的转置矩阵是其 逆矩阵
  • $Q^-1 = Q^T <=> Q^-1  Q^T = I $
  • 行列式 必为 +1 或 -1
  • 正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵,因此总是正规矩阵
  • 例子
    • 技术分享
    • 技术分享 针对x轴反射。
    • 技术分享 旋转反演(rotoinversion):轴 (0,-3/5,4/5),角度90°。

对角阵

  • 对角矩阵英语:diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。

三角阵

  • 线性代数中,三角矩阵方形矩阵的一种,因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵下三角矩阵两种。

用途

  • 三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如,由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解,在解多元线性方程组时,总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解;
  • 又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积,很容易计算。有鉴于此,在数值分析等分支中三角矩阵十分重要。一个可逆矩阵A可以通过LU分解变成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。LU =>Low, Upper. LDU => L, Diagonal, U

对角化

  • 如果一个方块矩阵 A 相似对角矩阵,也就是说,如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P −1AP 是对角矩阵,则它就被称为可对角化的。
  • 可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值,因为对角矩阵特别容易处理: 它们的特征值特征向量是已知的,且其次方可通过计算对角元素同样的次方来获得。
  •  F 上的 n × n 矩阵 A 是可对角化的,当且仅当它的特征空间的维度等于 n
  • 它为真当且仅当存在由 A 的特征向量组成的 Fn 的
  • 如果找到了这样的基,可以形成有基向量作为纵列的矩阵 P,而 P -1AP 将是对角矩阵。
  • 这个矩阵的对角元素是 A 的特征值。
  • wiki中有对角化方法

正定阵

 

以上是关于正交矩阵,酉矩阵,正规矩阵 概念的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

转置矩阵使用T,Hermite矩阵正交矩阵酉矩阵奇异矩阵正规矩阵幂等矩阵

矩阵的基本性质 之 对称矩阵,Hermite矩阵,正交矩阵,酉矩阵

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实矩阵酉相似等价于正交相似

常见的矩阵形式

奇异值分解SVD