实矩阵酉相似等价于正交相似

Posted 2021-03-09 xiongruimath

昨天群里讨论标题的问题

实矩阵酉相似是否等价于正交相似？

我在这里找到了答案。第一步是证明如下引理。

$A$和$B$正交相似，当且仅当$A$和$A^mathsf{T}$同时实相似到$B$和$B^mathsf{T}$。这里$mathsf{T}$表示转置。

方便起见，用$‘$表示转置。一面是简单地。另一面，假设$PAP^{-1}=B$, $PA‘P^{-1}=B‘$，于是$PAP^{-1}=(P‘)^{-1}AP‘$, 故$P‘PA=AP‘P$, 而此时$P‘P$是正定的，假设是$P‘P=V‘D^2 V$, 其中$V$是正交矩阵，$D$对角线上都是正数。此时$P(V‘DV)^{-1}$是正交的，记为$Q$，并记$V‘DV=O$，换言之$P=QO$。此时$A$和$O^2$交换，注意到利用Langrange插值，$D$是$D^2$的多项式，所以$A$和$O$也交换。总而言之，此时带入$PAP^{-1}=B$，立刻得到$QAQ^{-1}=B$，得证。

同样的手法，我们可以证明如下定理。

$A$和$B$酉相似，当且仅当$A$和$A^mathsf{H}$同时复相似到$B$和$B^mathsf{H}$。这里$mathsf{H}$表示共轭转置。

另外注意到如下事实

如果实矩阵$A_1,A_2$同时在$mathbb{C}$上相似到$B_1,B_2$，那么也同时在$mathbb{R}$上相似到$C,D$。

这是因为如果$(P+iQ)A_k(P+iQ)^{-1}=B_k$, $k=1,2$，即$PA_k=B_kP, QA_k=A_kQ$，于是某个$P,Q$的线性组合$ P+lambda Q$一定可逆，否则考虑行列式，作为多项式始终为$0$，这说明多项式本身是$0$（这里利用了$mathbb{R}$是无限域），这与在$mathbb{C}$上有根矛盾。

 

以下一些评注

• 引理的证明过程就是极分解，但是因为都可逆，所以不必大费周章。
• 酉（正交）相似并没有标准型。（关于这一点总有神必人反驳我）所谓标准型是要有唯一性的，或者说我们要有两个标准型等价（如相抵，相似，合同，正交相似，酉相似）的盘踞。众所周知，任何复矩阵都酉相似到上三角矩阵，一样的手法，任何实矩阵都相似到准上三角，每个块都不超过$2$阶，且$2 imes 2$的矩阵都是旋转矩阵。但是没有两个相似的判据，这并不能叫标准型。且这个结论对问题也没有帮助。
• 线性代数的经典习题是两个矩阵在小域上相似当且仅当在大域上相似。有两个初等的证明，一个如正文的方法，不过更改为一般的域扩张，或许系数会多考虑一些。另一个是利用两个矩阵相似当且仅当行列式因子相同，这里利用了扩域不改变最大公因式的事实，因为多项式环上的带余除法是有唯一性的。缺点是很明显的，前者无法用于有限域，后者无法用于多个矩阵的情况。
• 下面给一个抽象证明。首先相似只涉及到有限位置的元素，所以只需要有限扩域。接着把语言转换成模的语言，说的是有限维$k$代数$A$模$M$和$N$的扩张$Motimes_k F$和$Notimes_k F$如果作为$Aotimes_k F$模同构，那么作为$A$模下也同构。因为作为$A$模，$Motimes_k F$无非是一些$M$的拷贝，这无非是Krull-Schmidt定理。实际上这就是Noether-Deuring定理的过程。
• 类似地，我们可以得到一个看上去人畜无害，但初等方法难以下手的结论。$A,B$同时相似到$C,D$等价于$left(egin{matrix}A & Aend{matrix} ight), left(egin{matrix}B & Bend{matrix} ight)$同时相似到$left(egin{matrix}C & Cend{matrix} ight), left(egin{matrix}D & Dend{matrix} ight)$。
• 类比上面的过程，我们还可以得到一个。$A$和$B$正交相似等价于$left(egin{matrix}A & Aend{matrix} ight)$和$left(egin{matrix}B & Bend{matrix} ight)$正交相似。

 （所以Krull-Schmidt定理是一个很强的定理）