BZOJ 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy [DP 斜率优化]

Posted 2020-08-26 Candy?

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

---

待整理

c处理前缀和

f[i]=min{1<=j<i}f(j)+(si-sj+i-j-1-L)^2

i的在一起，j的在一起，展开二次，就得到斜率优化的形式

2*(s[i]+i)<=...........

min是下凸壳

本题x坐标和斜率都单增，用单调队列就行了

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=5e4+5;
typedef long long ll;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1; c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘; c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,L;
ll s[N],f[N];
ll F(int i){return f[i]+(s[i]+1+L)*(s[i]+1+L);}
double slope(int a,int b){return (F(b)-F(a))/(s[b]-s[a]);}
int head,tail,q[N];
void dp(){
    head=tail=1;
    q[head]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1])<=2*s[i]) head++;
        int j=q[head];
        f[i]=f[j]+(s[i]-s[j]-1-L)*(s[i]-s[j]-1-L);
        while(head<tail&&slope(q[tail],i)<=slope(q[tail-1],q[tail])) tail--;
        q[++tail]=i;
    }
}
int main(){
    n=read();L=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+read();
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]+=i;
    dp();
    printf("%lld",f[n]);
}