齐次坐标的理解

Posted 2020-08-24 wyu123

        Question: 俩条平行线可以相交于一点

        在欧氏几何空间中，同意平面的俩条平行线不能相交，这是我们熟悉的一种场景。

         然而在透视空间中，俩条平行线可以相交，例如：火车轨道随着我们的实现越来越窄，最后俩条平行线相交于一点

   

      欧氏空间（笛卡尔空间）描述2D、3D几何非常适合，但是这种方法却不适合处理透视空间的问题（实际上，欧氏几何是透视几何的一个子集合），2维笛卡尔坐标可以表示为（x,y）

      如果一个点在无穷远处，这个点的坐标将会（∞,∞），在欧氏空间，这变的没意义。平行线在透视空间的无穷远处相较于一点，数学家发现了一种方法来解决这种问题;  齐次坐标

   齐次坐标：简而言之，齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标

    我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量w来形成2D齐次坐标，因此，一个点(X,Y)在齐次坐标里面变成了（x,y,w），并且有

   X = x/w

     Y = y/w

    例如，笛卡尔坐标系下（1，2）的齐次坐标可以表示为（1，2，1），如果点（1，2）移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为(∞,∞)，然后它的齐次坐标表示为（1，2，0），因为(1/0, 2/0) = (∞,∞)，我们可以不用”∞"来表示一个无穷远处的点了，哈哈。

    

   为什么叫齐次坐标？

  我们把齐次坐标转化为笛卡尔坐标的方法是前面n-1个坐标分量分别除以最后一个分量即可。

   

转化齐次坐标到笛卡尔坐标的过程中，我们有一个发现，例如：

 

你会发现(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)对应同一个Euclidean point (1/3, 2/3)，任何标量的乘积，例如(1a, 2a, 3a) 对应 笛卡尔空间里面的(1/3, 2/3) 。因此，这些点是“齐次的”，因为他们代表了笛卡尔坐标系里面的同一个点。换句话说，齐次坐标有规模不变性。

      证明：两条直线可以相交

考虑如下方程组：

   

我们知道在笛卡尔坐标系里面，该方程组无解，因为C ≠ D,如果C=D,两条直线就相同了。

让我们在透视空间里面，用齐次坐标x/w, y/w代替x ,y,

 

 

现在我们有一个解(x, y, 0)，两条直线相交于(x, y, 0)，这个点在无穷远处。

小结：齐次坐标在图形学中是一个非常基础的概念，例如3D场景映射到2D场景的过程中