齐次坐标

Posted 2020-10-12 Jessica&jie

齐次坐标

就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。

二维点(x,y)的齐次坐标表示为(hx,hy,h)。由此可以看出，一个向量的齐次表示是不唯一的，齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标(8,4,2)、(4,2,1)表示的都是二维点(4,2)。

给出点的齐次表达式[X Y H]，就可求得其二维笛卡尔坐标，即[X Y H]→= [x y 1]， 这个过程称为归一化处理。

在几何意义上，相当于把发生在三维空间的变换限制在H=1的平面内。

那么引进齐次坐标有什么必要，它有什么优点呢？

许多图形应用涉及到几何变换，主要包括平移、旋转、缩放。以矩阵表达式来计算这些变换时，平移是矩阵相加，旋转和缩放则是矩阵相乘，综合起来可以表示为p‘ = m1*p+ m2（注：因为习惯的原因，实际使用时一般使用变化矩阵左乘向量）(m1旋转缩放矩阵， m2为平移矩阵， p为原向量 ，p‘为变换后的向量)。引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵运算中的乘法和加法，表示为p‘ = M*p的形式。即它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法(当维数不同无法相乘时变换维数使其相乘)。