麦克斯韦方程组 (Maxwell's equation)

Posted 2020-08-22 mashiqi

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2016/12/12

高中物理书：链接。

以下会用高中的物理知识和大学微积分的数学知识对麦克斯韦方程组进行一个简单的解释。希望大家都能看得懂Maxwell\'s equations大概说了什么。至少了解个大概吧。

1、高斯定律 (Gauss’s law)：电场

电荷（electic charges）产生静电场（static electric field）。静电场线始于正电荷，指向负电荷。任意区域内的电荷总量正比于相应的电场在此区域表面的第二型面积分。用公式表示就是$$\\int_{\\Omega} \\frac{\\rho}{\\epsilon_0}dx = \\int_{\\partial \\Omega} \\mathbf{E} \\cdot d\\vec{S},$$其中$\\epsilon_0$这个比例系数称为“真空介电常数(vacuum  permittivity, dielectricity of free space)”。将等式右边用散度公式表示后，就得到$$\\int_{\\Omega} \\frac{\\rho}{\\epsilon_0}dx = \\int_{\\Omega} \\nabla \\cdot \\mathbf{E} ~dx.$$由于$\\Omega$的任意性，我们得到$$\\nabla \\cdot \\mathbf{E} = \\frac{\\rho}{\\epsilon_0}.$$

2、高斯定律 (Gauss’s law)：磁场

没有所谓的“磁荷”。磁场线都是闭合的。也就是说，不存在这么一个点，使得磁场线从这里想四周射出。用公式表示就是$$\\int_{\\Omega} \\nabla \\cdot \\mathbf{B} ~dx = 0.$$由于$\\Omega$的任意性，我们得到$$\\nabla \\cdot \\mathbf{B} = 0.$$

3、法拉第电磁感应定律(Faraday\'s law of induction)

变化的磁场产生电场。且在点$p$处变化的磁场在点$p$处所产生的电场是“旋转着的”，对应的电场线是闭合的。也就是说沿着一条闭合的电场线走一圈，初末电压会不一样（我们知道，对于静电场，沿着任何一条闭合的线路走一圈，初末电压是一样的）。用数学的语言来描述就是说$\\mathbf{E}$的旋度不为零。并且法拉第电磁感应定律进一步指出：磁场$\\mathbf{B}$的变化率与所产生的$\\mathbf{E}$的旋度成正比。用公式表示如下$$\\nabla \\times \\mathbf{E} = -\\frac{\\partial \\mathbf{B}}{\\partial t}.$$

4、安培定律 (Ampere’s law)

电流和变化的电场都产生磁场。把这个定律用数学公式表示出来，就是：$$\\nabla \\times \\mathbf{B} = \\mu_0 \\left( \\mathbf{J} + \\epsilon_0 \\frac{\\partial \\mathbf{E}}{\\partial t}\\right).$$

5、亥姆霍兹分解 (Helmholtz decomposition)

矢量场可以分解为无旋度和无散度两个部分。设$\\mathbf{F}$为一个区域$V \\subseteq \\mathbb{R}^3$内的二阶连续可微矢量场，则存在一个标量场$\\Phi$(称为标量势)与矢量场$\\mathbf{A}$(称为矢量势)，使得$$\\mathbf{F} = -\\nabla\\Phi + \\nabla \\times \\mathbf{A}.$$显然，$\\nabla\\Phi$就是无旋度部分，$\\nabla \\times \\mathbf{A}$就是无散度部分.

将亥姆霍兹分解应用到麦克斯韦方程组，则可以得到一个标量势$\\Phi$与矢量势$\\mathbf{A}$，使得$$\\mathbf{E} = -\\nabla\\Phi - \\frac{\\partial \\mathbf{A}}{\\partial t},$$ $$\\mathbf{B} = \\nabla \\times \\mathbf{A}.$$我们将$\\Phi$称为电磁场的电势(electric potential)，将$\\mathbf{A}$称为磁向量势(magnetic vector potential)。