[NOIP2012] 提高组 洛谷P1081 开车旅行

Posted 2020-08-19 SilverNebula

题目描述

小 A 和小 B 决定利用假期外出旅行，他们将想去的城市从 1 到 N 编号，且编号较小的

城市在编号较大的城市的西边，已知各个城市的海拔高度互不相同，记城市 i 的海拔高度为

Hi，城市 i 和城市 j 之间的距离 d[i,j]恰好是这两个城市海拔高度之差的绝对值，即

d[i,j] = |Hi− Hj|。

旅行过程中，小 A 和小 B 轮流开车，第一天小 A 开车，之后每天轮换一次。他们计划

选择一个城市 S 作为起点，一直向东行驶，并且最多行驶 X 公里就结束旅行。小 A 和小 B

的驾驶风格不同，小 B 总是沿着前进方向选择一个最近的城市作为目的地，而小 A 总是沿

着前进方向选择第二近的城市作为目的地（注意：本题中如果当前城市到两个城市的距离

相同，则认为离海拔低的那个城市更近）。如果其中任何一人无法按照自己的原则选择目的

城市，或者到达目的地会使行驶的总距离超出 X 公里，他们就会结束旅行。

在启程之前，小 A 想知道两个问题：

1．对于一个给定的 X=X0，从哪一个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶

的路程总数的比值最小（如果小 B 的行驶路程为 0，此时的比值可视为无穷大，且两个无穷大视为相等）。如果从多个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比

值都最小，则输出海拔最高的那个城市。

1. 对任意给定的 X=Xi和出发城市 Si，小 A 开车行驶的路程总数以及小 B 行驶的路程

总数。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数 N，表示城市的数目。

第二行有 N 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示城市 1 到城市 N 的海

拔高度，即 H1，H2，……，Hn，且每个 Hi都是不同的。

第三行包含一个整数 X0。

第四行为一个整数 M，表示给定 M 组 Si和 Xi。

接下来的 M 行，每行包含 2 个整数 Si和 Xi，表示从城市 Si出发，最多行驶 Xi公里。

输出格式：

输出共 M+1 行。

第一行包含一个整数 S0，表示对于给定的 X0，从编号为 S0的城市出发，小 A 开车行驶

的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小。

接下来的 M 行，每行包含 2 个整数，之间用一个空格隔开，依次表示在给定的 Si和

Xi下小 A 行驶的里程总数和小 B 行驶的里程总数。

输入输出样例

输入样例#1：

drive1
4 
2 3 1 4 
3 
4 
1 3 
2 3 
3 3 
4 3


drive2
 10 
4 5 6 1 2 3 7 8 9 10 
7 
10 
1 7 
2 7 
3 7 
4 7 
5 7 
6 7 
7 7 
8 7 
9 7 
10 7

输出样例#1：

drive1
1 
1 1 
2 0 
0 0 
0 0 

drive2
2 
3 2 
2 4 
2 1 
2 4 
5 1 
5 1 
2 1 
2 0 
0 0 
0 0

说明

【输入输出样例 1 说明】

（图挂了）

各个城市的海拔高度以及两个城市间的距离如上图所示。

如果从城市 1 出发，可以到达的城市为 2,3,4，这几个城市与城市 1 的距离分别为 1,1,2，

但是由于城市 3 的海拔高度低于城市 2，所以我们认为城市 3 离城市 1 最近，城市 2 离城市

1 第二近，所以小 A 会走到城市 2。到达城市 2 后，前面可以到达的城市为 3,4，这两个城

市与城市 2 的距离分别为 2,1，所以城市 4 离城市 2 最近，因此小 B 会走到城市 4。到达城

市 4 后，前面已没有可到达的城市，所以旅行结束。

如果从城市 2 出发，可以到达的城市为 3,4，这两个城市与城市 2 的距离分别为 2,1，由

于城市 3 离城市 2 第二近，所以小 A 会走到城市 3。到达城市 3 后，前面尚未旅行的城市为

4，所以城市 4 离城市 3 最近，但是如果要到达城市 4，则总路程为 2+3=5>3，所以小 B 会

直接在城市 3 结束旅行。

如果从城市 3 出发，可以到达的城市为 4，由于没有离城市 3 第二近的城市，因此旅行

还未开始就结束了。

如果从城市 4 出发，没有可以到达的城市，因此旅行还未开始就结束了。

【输入输出样例 2 说明】

当 X=7 时，

如果从城市 1 出发，则路线为 1 -> 2 -> 3 -> 8 -> 9，小 A 走的距离为 1+2=3，小 B 走的

距离为 1+1=2。（在城市 1 时，距离小 A 最近的城市是 2 和 6，但是城市 2 的海拔更高，视

为与城市 1 第二近的城市，所以小 A 最终选择城市 2；走到 9 后，小 A 只有城市 10 可以走，

没有第 2 选择可以选，所以没法做出选择，结束旅行）

如果从城市 2 出发，则路线为 2 -> 6 -> 7 ，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，4。

如果从城市 3 出发，则路线为 3 -> 8 -> 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，1。

如果从城市 4 出发，则路线为 4 -> 6 -> 7，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，4。

如果从城市 5 出发，则路线为 5 -> 7 -> 8 ，小 A 和小 B 走的距离分别为 5，1。

如果从城市 6 出发，则路线为 6 -> 8 -> 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 5，1。

如果从城市 7 出发，则路线为 7 -> 9 -> 10，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，1。

如果从城市 8 出发，则路线为 8 -> 10，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，0。

全国信息学奥林匹克联赛（NOIP2012）复赛

提高组 day1

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如果从城市 9 出发，则路线为 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 0，0（旅行一开始就结

束了）。

如果从城市 10 出发，则路线为 10，小 A 和小 B 走的距离分别为 0，0。

从城市 2 或者城市 4 出发小 A 行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值都最小，

但是城市 2 的海拔更高，所以输出第一行为 2。

【数据范围】

对于 30%的数据，有 1≤N≤20，1≤M≤20；

对于 40%的数据，有 1≤N≤100，1≤M≤100；

对于 50%的数据，有 1≤N≤100，1≤M≤1,000；

对于 70%的数据，有 1≤N≤1,000，1≤M≤10,000；

对于100%的数据，有1≤N≤100,000，1≤M≤10,000，-1,000,000,000≤Hi≤1,000,000,000，

0≤X0≤1,000,000,000，1≤Si≤N，0≤Xi≤1,000,000,000，数据保证 Hi互不相同。

NOIP 2012 提高组 第一天 第三题

 

看懂题意就需要20分钟的样子。

倍增处理出从某个城市出发，走多少轮之后的消费，然后枚举每个城市作为出发点计算最优解即可。

↑思路还好理解，写出来超长

  1 /*by SilverN*/
  2 #include<iostream>
  3 #include<algorithm>
  4 #include<cstring>
  5 #include<cstdio>
  6 #include<cmath>
  7 #include<set>
  8 #include<map>
  9 #define LL long long
 10 using namespace std;
 11 const LL INF=1e13;
 12 const int mxn=100010;
 13 int read(){
 14     int x=0,f=1;char ch=getchar();
 15     while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
 16     while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
 17     return x*f;
 18 }
 19 map<LL,int>mp;
 20 set<LL>st;
 21 int n;
 22 int h[mxn];
 23 int wa[mxn],wb[mxn];//[i]位置a开车花费和b开车花费 
 24 int fa[mxn],fb[mxn];//[i]位置a，b开车去向的结点
 25 struct DIR{LL a,b;int v;}dir[mxn][17];//倍增数组 
 26 //bas
 27 struct dist{LL h,dis;}t[5];
 28 inline int cmp(dist a,dist b){
 29     if(a.dis!=b.dis)return a.dis<b.dis;
 30     return a.h<b.h;
 31 }
 32 double calc(int x,int lim,bool mode){//mode0:求比例  mode1:求方案 
 33     int a=0,b=0;
 34     for(int i=16;i>=0;i--)
 35         if(dir[x][i].v && a+b+dir[x][i].a+dir[x][i].b<=lim){
 36             a+=dir[x][i].a;b+=dir[x][i].b;
 37             x=dir[x][i].v;
 38         }
 39     if(!mode){
 40         printf("%d %d\n",a,b);
 41         return 0;
 42     }
 43     else return b==0?INF:(double)a/(double)b;
 44 }
 45 void solve1(){//求比例 
 46     double mini=1e20;int ans=0;
 47     int lim=read();
 48     for(int i=1;i<=n;i++){
 49         double res=calc(i,lim,1);
 50         if(res<mini || (res==mini && h[i]>h[ans]) )mini=res,ans=i;
 51     }
 52     printf("%d\n",ans);
 53     return;
 54 }
 55 void solve2(){//计算方案 
 56     int m=read();
 57     int x,lim;
 58     for(int i=1;i<=m;i++){
 59         x=read();lim=read();
 60         calc(x,lim,0);
 61     }
 62     return;
 63 }
 64 int main(){
 65     n=read();
 66     int i,j;
 67     for(i=1;i<=n;i++){
 68         h[i]=read();
 69         mp[h[i]]=i;//离散化 
 70     }
 71     st.insert(INF);st.insert(-INF);
 72     for(i=n;i;i--){
 73         st.insert(h[i]);
 74         t[1].h=*--st.lower_bound(h[i]);
 75         t[2].h=*st.upper_bound(h[i]);
 76         if(t[1].h!=-INF)
 77             t[3].h=*--st.lower_bound(t[1].h);
 78         else t[3].h=-INF;
 79         if(t[2].h!=-INF)
 80             t[4].h=*st.upper_bound(t[2].h);
 81         else t[4].h=INF;
 82         for(j=1;j<=4;j++)
 83             t[j].dis=abs(t[j].h-h[i]);
 84         sort(t+1,t+5,cmp);
 85         //统计最近和次近城市 
 86         wa[i]=t[2].dis;fa[i]=mp[t[2].h];//A开车的去向 
 87         wb[i]=t[1].dis;fb[i]=mp[t[1].h];//B开车的去向
 88         if(!fa[i])continue;
 89         dir[i][0].a=wa[i];
 90         dir[i][0].v=fa[i];
 91         if(!fb[fa[i]])continue;
 92         dir[i][1].a=wa[i];dir[i][1].b=wb[fa[i]];
 93         dir[i][1].v=fb[fa[i]];
 94         for(j=2;j<=16;j++){
 95             if(!dir[dir[i][j-1].v][j-1].v)break;
 96             dir[i][j].a=dir[i][j-1].a+dir[dir[i][j-1].v][j-1].a;
 97             dir[i][j].b=dir[i][j-1].b+dir[dir[i][j-1].v][j-1].b;
 98             dir[i][j].v=dir[dir[i][j-1].v][j-1].v;
 99         }
100     }//预处理AB在每个城市的移动方向和代价
101     solve1();
102     solve2();
103     return 0;
104 }