BZOJ 2440 中山市选2011 完全平方数

Posted 2020-08-19 lcf2000

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。 
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。 
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。 
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。 

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9,T ≤ 50

 

　　原谅我太弱……什么题都做不出……

　　这道题是莫比乌斯函数的一个经典应用：容斥。对于$1$到$n$，我们要求有多少个数不是完全平方数的倍数，显然我们要把所有数的平方都给减掉。那么就就容斥一发，每次减去是 含有奇数个质因子的数 的平方的倍数个数，再把有偶数个质因子的给加回来。根据莫比乌斯函数的定义，当一个数$n$的质因子两两不同且有$p$个时，$\mu (n)=(-1)^p$，如果$n$某个质因子出现了不止一次则$\mu (n)=0$。于是用莫比乌斯函数就可以非常方便地进行容斥了。

　　最后二分答案之后判定即可。

　　下面贴代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define maxn 100010

using namespace std;
typedef long long llg;

int a[maxn],la,mu[maxn],k,T;
bool w[maxn];

void getu(){//筛莫比乌斯函数
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<maxn;i++){
		if(!w[i]) a[++la]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=la && a[j]*i<maxn;j++){
			w[a[j]*i]=1;
			if(i%a[j]) mu[i*a[j]]=-mu[i];
			else{ mu[a[j]*i]=0; break;}
		}
	}
}

int suan(int x){
	int ans=0;
	for(int i=1;i*i<=x;i++)
		ans+=mu[i]*(x/(i*i));
	return ans;
}

int main(){
	File("a");
	scanf("%d",&T);
	getu();
	while(T--){
		scanf("%d",&k);
		int l=1,r=2147483647,mid;
		while(l!=r){
			mid=(int)(((llg)l+(llg)r)>>1);
			if(suan(mid)>=k) r=mid;
			else l=mid+1;
		}
		printf("%d\n",l);
	}
	return 0;
}

　　这道题还是一道双倍经验题，同 vijos1889