LIS最长上升子序列O(n^2)与O(nlogn)的算法

Posted

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了LIS最长上升子序列O(n^2)与O(nlogn)的算法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

动态规划

最长上升子序列问题(LIS)。给定n个整数技术分享技术分享技术分享技术分享技术分享技术分享技术分享技术分享技术分享技术分享,按从左到右的顺序选出尽量多的整数,组成一个上升子序列(子序列可以理解为:删除0个或多个数,其他数的顺序不变)。例如序列1, 6, 2, 3, 7, 5,可以选出上升子序列1, 2, 3, 5,也可以选出1, 6, 7,但前者更长。选出的上升子序列中相邻元素不能相等。

最容易想到的办法就是用一个数组f[i]保存到达第i个数的LIS

初始化f[i]=1

更新 f[i]=max{f[j]+1,f[i]|a[j]<a[i],1<=j<i}

即在第i位置前的比i小的最大的LIS+1

时间复杂度O(n^2)

 

#include<cstdio>
#include<iostream>//vj1098
#define ll long long
#define _max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
using namespace std;
const int N=105;
int n,a[N],ans;
int f[N],g[N];
int main()
{
    freopen("sample.in","r",stdin);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&a[i]),f[i]=g[i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<i;j++)
      if(a[j]<a[i])
       f[i]=_max(f[i],f[j]+1);
    for(int i=n;i>=1;i--)
     for(int j=n;j>i;j--)
      if(a[j]<a[i])
       g[i]=_max(g[i],g[j]+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    ans=_max(ans,f[i]+g[i]-1);
    cout<<n-ans;
    return 0;
}

 

 

从蓝书和网上学到了一种更高效的O(nlogn)的算法

大概思路如下

  d[i]表示以i结尾的最长的LIS的长度,则d[i]=max{0,d[j]|j<i,Aj<Ai}+1,最终答案是max{d[i]}。如果LIS中的元素可以相等,把小于号改成小于等于号即可。

  假如已经计算出两个状态a,b满足Aa<Ab,且d[a]=d[b],则对于后续所有状态i(即i>a且i>b)来说,a并不会比b差——如果b满足Ab<Aa的条件,a也满足。换句话说,如果我们只保留a,一定不会丢失最优解。

  这样,对于相同的d值,最需要保留A最小的一个。我们用g[i]表示d值为i的最小状态编号(如果不存在,g[i]定义为正无穷)。根据上推理可证明

  g[1]<=g[2]<=g[3]<=……<=g[n]

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long
#define _max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
using namespace std;
const int N=300005;
int n,k,a[N],b[N],o[N],ans,ma,mb;
int j,da[N],db[N],len,la,lb,mid;
int findpos(int *d,int l,int r,int key){
    while(l<=r){
        mid=(l+r)>>1;
        if(key>d[mid]){
            if(key<=d[mid+1])
                return mid;
            else l=mid+1;
        }else r=mid-1;
    }return 0;
}
int main(){
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)    scanf("%d",o+i);
    for(int i=1;i<k;i++)    o[i]<o[k]?a[++la]=o[i]:la=la;
    for(int i=k+1;i<=n;i++)    o[i]>o[k]?b[++lb]=o[i]:lb=lb;
    da[1]=a[1],len=1,j=0;
    for(int i=2;i<=la;i++)da[a[i]>da[len]?++len:findpos(da,1,len,a[i])+1]=a[i];
    db[1]=b[1],len=1,j=0;
    for(int i=2;i<=lb;i++)db[b[i]>db[len]?++len:findpos(db,1,len,b[i])+1]=b[i];
    for(int i=la;i>=1;i--)da[i]?ans+=i,i=0:i=i;
    for(int i=lb;i>=1;i--)db[i]?ans+=i,i=0:i=i;
    cout<<ans+1;
    return 0;
}

 



以上是关于LIS最长上升子序列O(n^2)与O(nlogn)的算法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

最长上升子序列 (LIS) 详解+例题模板 (全)(转)

最长上升子序列 (LIS) 详解+例题模板 (全)(转)

LIS的优化算法O(n log n)

最长上升子序列问题 nlogn 实现算法的简述

最长上升子序列O(nlogn)算法详解

POJ 1631 最长上升子序列的O(nlogn)算法