最长上升子序列问题 nlogn 实现算法的简述

Posted 2020-07-08 kiraa

首先举个例子说明最长上升子序列（longest increasing subsequence 缩写 LIS）：

　　1，4，6，2，3，7，5 中1，2，3，5 和1，4，6，7都是最长上升子序列，长度均为4，且相邻元素不能相等。

LIS是动态规划中的经典问题，O(n²)的做法是设d(i)为以i为结尾的最长上升子序列的长度，状态转移方程为：d[i]=max{0,d[j]|j<i,A[j]<A[i]}+1。

下面我们仔细思考以下情况：

　　i<j时，d[i]=d[j],显然这种情况只能是A[i]>=A[j];这时我们计算 d[t]（t>j且A[t]>A[i]）,那么应优先选取以A[j]结尾的子序列作为A[t]的前缀序列，因为如果存在

i<j<z<t,满足A[j]<A[z]<A[i]<A[t],子序列的长度会因z的存在而增加。

　　由此我们使用数组D[k]保存满足d[t]=k的最小A[t],即D[k]=min{A[t]|d[t]=k};

　　可以证明D[k]是严格单调递增的，即D[1]<D[2]<D[3]<……<D[len],

证明如下：

　　D[k]=min{A[t1]|d[t1]=k};

　　D[k+1]=min{A[t2]|d[t2]=k+1};

　　采用反证法，

　　令A[t1]=D[k],A[t2]=D[k+1]

　　假设A[t2]<A[t1];

　　设以A[t2]结尾对应的子序列为S[1]~S[k],A[t2],  满足S[k]<A[t2].

　　显然S[1]~S[k]是一个以S[k]为结尾的最长上升子序列，长度为k，

　　则有A[t1]=D[k]<=S[k]<A[t2]，与假设矛盾，故D为严格单调递增序列。

于是利用D我们可以得到另外一种计算最长上升子序列的方法，并且可以边读边计算D，算法如下：

　　1)设当前最大子序列长度为len，读入A[i];

　　2)如果A[i]>D[len],则len++,D[len]=A[i];

　　3)如果A[i]<=D[len],则从1～len中二分查找第一个k，使D[k]>=A[i],更新D[k]=A[i].

代码如下：

 1 　　int n;//原序列长度
 2     cin>>n;
 3     memset(A, 0,sizeof A);
 4     memset(D, 0, sizeof D);
 5     int len=0;//当前最长子序列长度
 6     for(int i=0;i<n;i++){
 7         cin>>A[i];
 8         if(A[i]>D[len]){
 9             len++;
10             D[len]=A[i];
11         }
12         else {
13             int k=lower_bound(D, D+len, A[i])-D;//二分搜索D[k]>=A[i],更新D[k]
14             D[k]=A[i];
15         }
16     }
17     cout<<len<<endl;
18     return 0;