绝对收敛级数重排定理的证明

Posted 2020-08-17 遗忘海岸

级数的部分和组成了一个部分和数列，如果这个数列在n->∞ 时有极限，那么我们说级数有极限(收敛converges)反正级数发散(diverges)

级数是数列2维的存在！

首先，绝对收敛级数收敛（或者时说一个级数绝对收敛，那么这个级数收敛)

证明过程

目标，证明

 

注意下面60题参考答案(a)部分中，选取的ε，在两个等式中是一样的，M是绝对收敛时的极限，L是不带绝对值符号的极限（正常部分和序列的极限)

我们在N1,N2中选择大的那个max{N1,N2}以保证两个等式成立，注意此时ε是任意大于0的实数.

另外还要注意到级数的项数列{an}与级数项取绝对值后组成的数列{|an|}，其项数是一样的，（同样两个级数的部分和数列{Sn}也是一样多的项 ）

 

部分(b)的理解:

{|bn|}里面的元素一定都在{|an|}中--重排的定义， 如果选择某个ε>0 根据数列极限定义（部分和数列）有|SUM_1_k |an|-M|<ε --（1式）其中k>=N1,

那么采用{|bn|}的元素想加，一定也能得到|SUM_1_k|bn|-M|<ε --（2式) 其中k>=N2>=N1  , 注意一个收敛级数SUM|an|  当 指标增大(即部分和项标增大时），

或者说加上更多的项时其与M是越来越近的(因为部分和数列是非减有上限的，单调增)，所以满足1式的ε一定也满足2式。

关于(SUM_1_k bn  -  SN2)的值 其中k>=N3 ：

应该是有限数列{xn}，该数列有N3-N2+1 个项，里面元素是不属于{a1-aN2}的{an}中的元素的某个重排相加

这个值是小于{|aN1|+...|an|}  但是 与 (SUM_1_∞  bn - SN2) 之间无法比较大小，所以 书上可能是错误了（上图）