微积分——幂级数

Posted 2021-07-19 临风而眠

幂级数

文章目录

• 幂级数
• • 一.函数项级数
  • • 1.定义
    • 2.函数项级数的收敛性
    • • ①定义
      • ②收敛点、收敛域
      • ③和函数
  • 二.幂级数
  • • 1.定义
    • 2.阿贝尔定理
    • • 推论
      • • 注：
    • 3.定理（关于收敛半径）
    • • 收敛半径的计算方法
  • 三.幂级数运算
  • • 1.加减乘除
    • • ①加减法
      • ②数乘
      • ③乘法
      • ④除法
    • 2.分析性质
  • 四.泰勒级数
  • • 1.泰勒公式回顾
    • 2.泰勒级数
    • 3.定理
    • 4.定理（幂级数展开的唯一性）
    • 5.将函数在$x_0$附近展开为幂级数
    • • ①直接展开法
      • • 常用的麦克劳林级数：
      • ②间接展开法

一.函数项级数

​ （函数项无穷级数，简称为函数项级数或函数级数）

1.定义

​ 设$u_n(x)(n=0,1,2,...)$为定义在某实数集合$I$上的函数序列，称$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...$为定义在集合$I$上的函数项级数

​

2.函数项级数的收敛性

①定义

​ 设函数$u_n(x)$,$n\in N_{+}$在集合$E$上有定义且$x_0\in E$

​ 若常数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$收敛，则称函数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$在点$x_0$处收敛

​ 若常数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$绝对收敛（级数$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n(x_0)|$收敛），则称函数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$在点$x_0$处绝对收敛

②收敛点、收敛域

​ 若数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$收敛，则称$x_0$是函数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$的收敛点，若数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$绝对收敛，则称$x_0$是函数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$的绝对收敛点，否则称为函数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$的发散点

​ 所有收敛点构成的集合，称为函数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$的收敛域，所有绝对收敛点构成的集合，称为函数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$的绝对收敛域，发散点集称为函数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$的发散域

​

③和函数

​ 设$\Omega$为函数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$收敛域，在收敛域上，函数项级数的和是$x$的函数$S(x)$，称它为级数的和函数，并写成
$$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$$
​ 若用$S_n(x)$表示函数项级数前$n$项的和，即以上是关于微积分——幂级数的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

微积分——数项级数

期末考试中微积分的证明题的分析：Taylor级数展开

微积分：常用公式微分方程级数

积分级数题集02

[从头学数学] 第239节 无穷级数

高等数学公式（第4部分）