我对补码的理解

Posted 2020-08-16

  我对补码的最初的印象是大一的时候老师说按位取反再加一，却不知道为什么这样做，最近看了一下资料，总结一下我的理解吧。

一、计数系统

  一个计数系统可以存多少容量状态的数，我叫它作为计数系统的Mod。一个计数系统不断地加一，那么它表示的数的状态也会周期性地变化，我叫这个周期的大小叫做Mod。

  举个两个例子，1、一个包含两个bit的存储单位，它可以表示00，加一变成01，加一变成10，加一变成11，再加一又变成了00。即该计数系统的Mod为4。2、一个时钟显示十二个小时，时针旋转一周后回到原来的状态，即该系统的Mod为12。

  由此，可以得到一个结论。这种周期性变化的计数系统，一个状态加减整数倍的Mod，其状态不会有不会发生变化。00加上4次之后还是00，12点时阵转两圈后还是12点。

二、变减为加

  在计算机中使用加法器对数据进行计算，那么如何进行减法的运算呢？

  设Mod=16

  若a=3，b=-4，则a+b=a+b+Mod=-1+Mod=a+(Mod-4)=15(在计数系统中-1和15等价)

  实际上Mod-4就是b的补数，所有的减法在计算机中都可以转化为加上减数的补数，对应计算机上的概念就是补码。

  因此，计算机是使用补码(补数)进行计算。

三、约定的正负号

  设现有一个4位的计数系统，那么我们可以知道该系统的Mod=16，即该系统一共可以表示16个状态。我也约定这个四位系统的0000状态为0，向前连续加十六得到0000本身，对应表示的数字如下：

  1111 = 15    0000 = 0

  1110 = 14    0001 = 1

  1101 = 13    0010 = 2

  1100 = 12    0011 = 3

  1011 = 11    0100 = 4

  1010 = 10    0101 = 5

  1001 = 9    0110 = 6

  1000 = 8    0111 = 7

  如果这个计数系统是无符号位的，显然可以知道它表示的数据范围为：0~15

  如果这个计数系统是有符号位的呢？

  首先要对这些数据进行分配，现在的教科书上的做法就是把Mod前一半划分给0~7，后一半Mod划分给-8~-1，即如下图（这里二进制都是补码）：

  1111 = -1    0000 = 0

  1110 = -2    0001 = 1

  1101 = -3    0010 = 2

  1100 = -4    0011 = 3

  1011 = -5    0100 = 4

  1010 = -6    0101 = 5

  1001 = -7    0110 = 6

  1000 = -8    0111 = 7

  现在约定最高位为符号位，则显然正数的补码就是它本身，负数的补码和原码对照图如下：

  1111 = -1    1001  ->  1110  +1  ->  1111

  1110 = -2    1010  ->  1101  +1  ->  1110

  1101 = -3    1011  ->  1100  +1  ->  1101

  1100 = -4    1100  ->  1011  +1  ->  1100

  1011 = -5    1101  ->  1010  +1  ->  1011

  1010 = -6    1110  ->  1001  +1  ->  1010

  1001 = -7    1111  ->  1000  +1  ->  1001

  1000 = -8    1000  ->  1111  +1  ->  1000

  这不正是按位取反再加一么。