如何理解补码

Posted 2020-10-28 秋天来了

　　计算机中的符号数有三种表示方法，即原码、反码和补码。

　　在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；

　　在理解补码的之前，得先了解另外一个概念：补数；以十进制为例，不考虑负数，1位十进制数能表示的最大的数是9，最小是0。由于进位的原因，0-1=0+9会得到9。9是-1以10为模的补数，目前来看，这东西根本没啥用！！没错，对人来说确实没啥用，但对计算机来说不一样，在计算机中所有的信息都是以二进制来表示的，所有的信息都用0和1表示，专门留出1个位表示正负号，不但浪费资源，做计算时也不方便。所以，天才的计算机科学家（具体是谁不知道，一说是冯诺依曼）利用补码，不但能正确的表示负数，而且还将加减乘除均运算都转换成简单的加法运算，现在我们来看看他/她是怎么做到的吧：

        以4位二进制做例子，先把能表示的数字放到一个表盘上，外圈为二进制，内圈为10进制：

 　　　　　　

　　

　　根据上述补数的原理可知，在上面这个表盘中如果有一个数x，那么：

 

　　　　x - 1 = x + (-1) +16 = x +15

　　　　x - 2 = x + (-2) +16 = x +14

　　　　　  ......

　　　　x - 7 = x + (-7) +16 = x + 9
　　　　x - 8 = x + (-8) +16 = x + 8
　　　　x - 9 = x + (-9) +16 = x + 7
　　　　x - 10 = x + (-10) +16 = x +6
　　　　　  ......
　　　　x - 15 = x + (-15) +16 = x + 1

 

　　是不是有灵感了，不是不能表示负数吗？那咱们用15表示-1，用14表示-2，……，用8表示-8，所有的加法（减法、乘法、除法运算均可以转换为加法）运算结果在上述表盘上的结果都不会收到影响！！这样在上述表盘就可以表示-8~+7之间所有的整数。用来表示-1的二进制码就是-1的补码（1111）。

　　我们把结果画到图上，结果如下：

　　　　　　　　　　

　　注意所有的运算只有在上述表盘中才成立，上述的结论脱离了对应的表盘就是不成立。同时我们只是用15表示了-1，因为这样替换不影响计算结果，并不是说15就等于-1，这里面有区别。

　　是不是觉得万事大吉了？然而并没有！！！

　　在上述表盘中试试计算下6+7 或者-7+（-8），是不是觉得有点失望，完全不是想要的结果！这就是溢出，因为上述表盘只能表示-8~+7之间的数，如果计算结果超出这个范围就会出现错误，如何检测整型相加溢出。

　　还有一个重要问题：在学习补码的时候，很多教材、文章说求补码的过程先求反码、再求补码，给人的感觉是补码由于反码推导出来的，其实不是，这是误导！！！如果按照先求反码，再求补码的过程来理解补码，就会感到迷茫。我在这个坑里待了好久才跳出来。还好有一篇文章提醒了我，但是现在找不着出处了，原作者如果看到，请提醒我加链接。