图像处理——图像的傅里叶变换

Posted 2020-08-16 langtaol

首先给大家推荐傅里叶变换的资料（转自微信）：

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MjM5MTIwMjY1Mg==&mid=206922366&idx=5&sn=9d1a1f32fdfd46c64a5f9276f7366e9d&scene=2#rd

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MjM5MTIwMjY1Mg==&mid=207362239&idx=1&sn=0a74b905aac6fb61c9ddd3573b2977d6&scene=2#rd

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。这里主要从多篇文章中总结一下傅里叶变换和在图像中的应用。

一维的傅里叶变换简单的说就是将时域信号变换为多个正余弦函数的叠加，信号分解如下图所示。

时域信号表示为多个正余弦信号的叠加，上图从时间方向看，可得到下图。

其中，横坐标代表频率w，纵坐标代表幅值A，即Asin（wt+θ），θ通过复数的实部和虚部计算得到。一个频率点就代表了信号的一个分量。

图像可以看作是二维的信号，一个二维傅里叶变换是一维傅里叶变换在每一个行扫描线和列扫描线上的傅里叶变换的叠加。傅里叶变换以前，图像是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。从物理效果看，傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。即将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。 

傅里叶中由三个分量编码：频率、幅值、相位描述正弦图像中的所有信息。在频域中，图像的幅值表示了图像中最明和最暗的峰值之间的差，相位表示了相对于原始波形，这个波形的偏移量。频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。频率越大说明原始信号变化速度越快，频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化快慢。高频分量解释信号的突变部分，而低频分量决定信号的整体形象。在图像处理中，频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度，也就是图像灰度的变化速度，或图像的梯度大小。对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量。也就是说，傅立叶变换提供一条从空域到频率自由转换的途径来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。 

傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅里叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。对于周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。

关于图像的频率谱坐标移动可以参考冈萨雷斯数字图像处理（MATLAB版）第四章的4.1和4.2节。

以下的图都是剧中的频率谱图。

图像与频率直接的关系，低频代表图像轮廓，高频代表了图像噪声，中频代表图像边缘、纹理等细节。

傅里叶谱图中心亮度程度表明了图像的灰度均值，中心亮度大，表明灰度均值高，直观上表现出图像比较明亮，反之，图像较暗。

傅里叶谱图的频率成分越多，表明图像变化的程度需要更多的频率来表征，图像也就变化越剧烈。

频率谱上不同点和图像灰度变化的关系。

参考文献：

http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7622228