线性变换的本质

Posted 2020-08-15 谷子弟

线性变换就是矩阵的变换，而任何矩阵的变换可以理解为 一个正交变换+伸缩变换+另一个正交变换。（正交变换可以暂时理解为 不改变大小以及正交性的旋转/反射 等变换）A*P = y*P ，y就是特征值，P是特征向量，矩阵A做的事情无非是把P沿其P的方向拉长/缩短了一点（而不是毫无规律的多维变换）。y描述沿着这个方向上拉伸的比例。

对于满秩的n*n方阵，做特征值变换，非满秩的矩阵，做奇异值变换，差别在于前者是个对角阵，后者形成对角阵和零矩阵合成的矩阵。

下面是更直观的例子（转自知乎https://www.zhihu.com/question/21082351）：

1. 平面内引入直角坐标系之后，二维空间内所有的向量都可以用两个基向量i=(1,0)和j=(0,1)的线性组合来表示，例如a=(4,6)，可以表示为a=4i+6j。
2. 但是也可以由i=(2,0)和j=(0,2)两个向量来表示，例如a=2i+3j。
3. 还可以由i=(1,1)和j=(1,-1)来表示，例如a=5i-1j。
4. 或者由i=(1,0)和j=(1,-1)表示，例如a=10i-6j。
5. 在1的基础上，我们还可以将a表示为i=(1,0),j=(0,1),k=(1,1)三个向量的线性组合，也就是a=4i+6j+0k或者a=0i+2j+4k或者a=2i+4j+2k等等等等我举不完了。这其中k=i+j。

通过上面的举例我们可以总结出几条。

1. 由5点到4点，将多余的基向量k去掉，得到最大线性无关向量组。
2. 由4点到3点，将两个基向量的夹角变成直角，实现正交化。
3. 由3点到2点，将构成正交的两个基向量旋转，使其与坐标轴重合，实现对角化。
4. 由2点到1点，通过伸缩将两个基向量的长度变成单位长度，实现规范化。

通过上面的几个步骤，我们可以看出，任何一组向量构成的坐标系，都可以通过化简，正交，对角，规范的过程，将任何乱七八糟莫名其妙的坐标系变换成笛卡尔坐标系。那这么做有什么用呢？到这里我开了一下脑洞：
假如说，平面内有两个椭圆，将直角坐标系的原点放在一个椭圆的长轴和短轴交点处，这样就可以得到这个椭圆的标准方程，就是高中课本上那个。由于这两个椭圆的位置相对，这样一来另一个椭圆的位置也就定下来了，可惜很难看，长得很歪，很难用方程表示。这时就可以以这个椭圆为原点再建立一个坐标系，并且在这个坐标系下用标准方程表示出来，这样两个椭圆都有了方程来表示，问题就化简为了两个坐标系之间的关系，这时再用矩阵来运算就好了。可惜这里不能画矩阵，关于矩阵的好多问题都不能解释。