线性代数的本质-03-矩阵与线性变换

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了线性代数的本质-03-矩阵与线性变换相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

回顾上两节视频,第一个视频主要介绍了什么是向量,包括向量的两个基本运算数乘与累加。第二个视频主要介绍了向量衍生的分支,包括3个部分:1.基向量,向量是基向量伸缩变换后的累加和。2.线性组合,两个向量的标量乘法之和(此处联想为向量由基向量衍生出来)。3.张成的空间,给定向量的线性组合的向量集合被称为给定向量所张成的空间。以上,完成向量的出身,组合,张成空间的所有思路。那么线性变换的思想是什么呢?我们又如何完成向量的变换呢,这里是不是加法的转弯呢?拭目以待~

  • 线性变换

变换指的是接收一个向量并且输出这个向量的变换,其可以理解成函数接受输入内容输出其所对应的结果。

  • 线性变换里面线性指的是什么呢,它做了什么约束呢?
  1. 直线在变换之后仍然保持为直线,不能有所弯曲。
  2. 原点必须保持固定。

  可以简单理解或直观理解为:线性变换看作是“保持网格线平行并且等距分布”的变换。

  • 如何利用数值去描述这些线性变换呢?换句话,完成计算机编程时给出什么样的计算公式呢?

  联想上一部分所学内容:空间内向量均可由该空间的基向量描述。那么空间变换完成后,基向量随之变换,其他向量随着基向量完成变换,并且对应线性组合不发生改变。

  例如:v=-1i+2j,当整个空间完成线性变换后,其对应的线性组合并不发生改变(平行等距不离开原点,始终保持相似关系),也即寻找到变换后的基向量便可以找到对应的变换向量。

  • 线性变换又可以分为几类呢?
  1. 旋转
  2. 剪切(联想为正方形在对角线的压缩或伸长)
  • 给出变换矩阵,如何联想变换过程?

  重点的抽象过程是,如果变换后的基向量拥有了倍数关系,那么此时变换后的空间将被进行了一次压缩。而,整个变化过程,用左右手就可以跟踪描述了。

  • 讨论区有意思的回复内容
  • N维空间的线性变换可以理解为N*N阶矩阵,那么N*J阶矩阵表示什么变换呢?(J<N)

  考虑到刚刚留下的课后习题,N*J阶矩阵实际是变换后的基向量拥有了倍数关系,那么在某些维度空间将会失去其深度,产生压缩。继而可以考虑成高维空间向低维空间进行映射。

  • 高阶矩阵如何理解?

  暂时没有概念,如何理解?有回复是这样的,R上的多项式函数全体就是一个线性空间。(并不是很懂,理解之后回来填坑)

  • 向量乘法是按照原始向量方向移动,矩阵乘法就是转换?

   矩阵发生旋转剪切是向量发生转换的最原始原因。

以上是关于线性代数的本质-03-矩阵与线性变换的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

直观详解线性代数的本质

矩阵与线性变换

线性代数本质3:矩阵和线性变换

线性代数的本质-04补充-三维空间中的线性变换

线性代数本质4:矩阵乘法

理解矩阵