线性代数的本质-03-矩阵与线性变换

Posted 2021-01-02 sky-z

回顾上两节视频，第一个视频主要介绍了什么是向量，包括向量的两个基本运算数乘与累加。第二个视频主要介绍了向量衍生的分支，包括3个部分：1.基向量，向量是基向量伸缩变换后的累加和。2.线性组合，两个向量的标量乘法之和（此处联想为向量由基向量衍生出来）。3.张成的空间，给定向量的线性组合的向量集合被称为给定向量所张成的空间。以上，完成向量的出身，组合，张成空间的所有思路。那么线性变换的思想是什么呢？我们又如何完成向量的变换呢，这里是不是加法的转弯呢？拭目以待～

• 线性变换

变换指的是接收一个向量并且输出这个向量的变换，其可以理解成函数接受输入内容输出其所对应的结果。

• 线性变换里面线性指的是什么呢，它做了什么约束呢？

1. 直线在变换之后仍然保持为直线，不能有所弯曲。
2. 原点必须保持固定。

　　可以简单理解或直观理解为：线性变换看作是“保持网格线平行并且等距分布”的变换。

• 如何利用数值去描述这些线性变换呢？换句话，完成计算机编程时给出什么样的计算公式呢？

　　联想上一部分所学内容：空间内向量均可由该空间的基向量描述。那么空间变换完成后，基向量随之变换，其他向量随着基向量完成变换，并且对应线性组合不发生改变。

　　例如：v=-1i+2j，当整个空间完成线性变换后，其对应的线性组合并不发生改变（平行等距不离开原点，始终保持相似关系），也即寻找到变换后的基向量便可以找到对应的变换向量。

• 线性变换又可以分为几类呢？

1. 旋转
2. 剪切（联想为正方形在对角线的压缩或伸长）

• 给出变换矩阵，如何联想变换过程？

　　重点的抽象过程是，如果变换后的基向量拥有了倍数关系，那么此时变换后的空间将被进行了一次压缩。而，整个变化过程，用左右手就可以跟踪描述了。

• 讨论区有意思的回复内容

• N维空间的线性变换可以理解为N*N阶矩阵，那么N*J阶矩阵表示什么变换呢？（J<N）

　　考虑到刚刚留下的课后习题，N*J阶矩阵实际是变换后的基向量拥有了倍数关系，那么在某些维度空间将会失去其深度，产生压缩。继而可以考虑成高维空间向低维空间进行映射。

• 高阶矩阵如何理解？

　　暂时没有概念，如何理解？有回复是这样的，R上的多项式函数全体就是一个线性空间。（并不是很懂，理解之后回来填坑）

• 向量乘法是按照原始向量方向移动，矩阵乘法就是转换？

　  矩阵发生旋转剪切是向量发生转换的最原始原因。