线性代数本质4：矩阵乘法
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性代数本质4：矩阵乘法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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一：矩阵乘法
前面所讲的几节内容中涉及的变换都是单一的变换，那么如果你想描述多种连续的变换呢，或者称为复合变换
比如下图，先将平面逆时针旋转90°，然后再进行剪切。这很明显是两个变换，但是从总体上看可以看作是一个复合变换，是旋转和剪切作用的总和
和其他变换一样，描述这种变换我们也可以通过记录变换后的
i
j
ij
ij来实现，矩阵表示为
(
1
−
1
1
0
)
\\begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 1 & 0\\end{pmatrix}
(11−10)。这一新的矩阵捕捉到了两个变换的总体效应，但它的确是一个单独的作用
按照我们前文所讲，如果让一个向量
(
x
y
)
\\begin{pmatrix} x\\\\ y\\end{pmatrix}
(xy)乘以矩阵就会对其施加该矩阵所表示的线性变换，那么如果按照变换两次的角度来看，应该就是先乘以一个旋转矩阵，所得结果再乘以一个剪切矩阵
(
1
1
1
0
)
(
(
0
−
1
1
0
)
(
x
y
)
)
\\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & 0\\end{pmatrix}(\\begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} x\\\\ y\\end{pmatrix})
(1110)((01−10)(xy))
如果从总体角度上看，那么上面矩阵的效果或者说结果，应该和复合变换所对应的矩阵是一致的
(
1
−
1
1
0
)
(
x
y
)
\\begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 1 & 0\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} x\\\\ y\\end{pmatrix}
(11−10)(xy)
也即
(
1
1
1
0
)
(
(
0
−
1
1
0
)
(
x
y
)
)
=
(
1
−
1
1
0
)
(
x
y
)
\\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & 0\\end{pmatrix}(\\begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} x\\\\ y\\end{pmatrix})=\\begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 1 & 0\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} x\\\\ y\\end{pmatrix}
(1110)((01−10)(xy))=(11−10)(xy)
约去等式相同部分，那么两者之积理应是相同的
(
1
1
1
0
)
(
0
−
1
1
0
)
=
(
1
−
1
1
0
)
\\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & 0\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 1 & 0\\end{pmatrix}
(1110)(01−10)=(11−10)
其实大家也能看到，这不就是我们熟知的矩阵乘法吗，但是我们的教育中太过重视怎么算的问题，但是怎么算根本就不是矩阵的本质的问题，它只是一种所谓的“技巧”，一种可以帮助你快速得到复合变换结果的计算方法，所以大家一定要明白矩阵乘法的本质，而不应该迷失在数字的世界中
以上是关于线性代数本质4：矩阵乘法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章