刷题向》关于一道像差分约束的数学题BZOJ1045

Posted 2020-08-14

　　关于这道题，乍一看很像查分约束，但是实际上这道题是可以用数学方法直接解决的。

　　这道题在蓝书上有原题，可以看到题解，在此再赘述一遍

　　首先，最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来，等于糖果总数除以n，用ave表示。

　　假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。

　　对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意，最后的糖果数量等于num，即得到了一个方程：A1-X1+X2=num。

　　同理，对于第2个小朋友，有A2-X2+X3=num。最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。

　　尽管无法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本题就变成了单变量的极值问题。

　　对于第1个小朋友，A1-X1+X2=num  ->  X2=num-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-num，下面类似）

　　对于第2个，A2-X2+X3=num  ->  X3=num-A2+X2=2*num-A1-A2+X1=X1-C2

　　对于第3个，A3-X3+X4=num  ->  X4=num-A3+X3=3*num-A1-A2-A3+X1=X1-C3

……

　　对于第n个小朋友，An-Xn+X1=num。

　　我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数，自行证明。

　　那么这样一来就很好解了，这个C可以用前缀和维护，一遍扫过，然后直接求出后直接找中位数就好啦。

　　甩出题目&代码

Description

老师准备了一堆糖果, 恰好n个小朋友可以分到数目一样多的糖果. 老师要n个小朋友去拿糖果, 然后围着圆桌坐好, 第1个小朋友的左边是第n个小朋友, 其他第i个小朋友左边是第i-1个小朋友. 大家坐好后, 老师发现, 有些小朋友抢了很多的糖果, 有的小朋友只得到了一点点糖果, 甚至一颗也没有 ?, 设第i个小朋友有ai颗糖果. 小朋友们可以选择将一些糖果给他左边的或者右边的小朋友, 通过”糖果传递”最后使得每个小朋友得到的糖果数是一样多的, 假设一颗糖果从一个小朋友传给另一个小朋友的代价是1, 问怎样传递使得所耗的总代价最小.

Input

第一行一个正整数n,表示小朋友的个数. n行,每行一个整数ai,表示第i个小朋友得到的糖果的颗数.

Output

输出只有一个数, 表示最小代价.

Sample Input

4
1
2
5
4

Sample Output

4

HINT

数据范围
30%的测试数据, n<=1000.
100%的测试数据, n<=1000000.
ai>=0, 保证ai在longint/int范围内, ai的总和在int64/long long范围内.

 

 1 /**************************************************************
 2     Problem: 1045
 3     User: PencilWang
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:2148 ms
 7     Memory:78948 kb
 8 ****************************************************************/
 9  
10 #include<stdio.h>
11 #include<math.h>
12 #include<algorithm>
13 using namespace std;
14 int a[10000000],w[10000000],n;
15 int main()
16 {
17     long long num=0;
18     scanf("%d",&n);
19     for(int i=1;i<=n;i++)
20     {
21         scanf("%d",w+i);
22         num+=w[i];
23     }
24     num/=n;
25     for(int i=2;i<=n;i++)
26         a[i]=a[i-1]+w[i]-num;
27     sort(a+1,a+n+1);
28     int mid=a[n/2];
29     long long ans=0;
30     for(int i=1;i<=n;i++)
31     {
32         ans+=abs(mid-a[i]);
33     }
34     printf("%lld",ans);
35     return 0;
36 }

1045