关于图论差分约束

Posted 2020-10-08

其实这个是一个数形结合的绝妙算法，通过找到不等式和SPFA中更新d时的相同点，用最短路解决数学问题。CBL大佬太强啦，我已经找不到可以优化的，所以说就看看他的解释吧~

//差分约束的重点中的重点：约束式一定要化为y<=x+c的形式，否则模型直接的转换会出错
/*
差分约束系统的定义
如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如x[j]-x[i]<=b[k](1<=i,j<=n),(1<=k<=m)
则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求不等式组的解
*/
/*
差分约束系统的运用
在面对多种多样的问题时，我们经常会碰到这样的情况：往往我们能够根据题目题面意思来建立一些简单的模型，
但却面对这些模型无从下手。这时我们应该意识到，也许能够将这种模型与其他的模型之间搭起一座桥梁，
使我们能够用更简单直接的方式解决它。差分约束系统很好地将某些特殊的不等式组与图相联结，让复杂的问题简单化，
将难处理的问题用我们所熟知的方法去解决，它便是差分约束系统
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct node
{
    int x,y,c,next;
}a[210000];int len,last[210000];
int d[210000],ru[51000],sta[51000];
bool v[51000];
void ins(int x,int y,int c)
{
    len++;
    a[len].x=x;a[len].y=y;a[len].c=c;
    a[len].next=last[x];last[x]=len;
}
int main()
{ 
    int n,mmax=0,mmin=2147483647;
    scanf("%d",&n);
    /*
    约束条件的推导：
    我们设s[i]表示从1～i这个区间内有多少个点
    那么每个约束条件可以表示为
    s[bi]-s[ai-1]>=ci
    s[i-1]到s[i]最多有一个点
    所以有s[i]-s[i-1]>=0
    s[i-1]-s[i]>=-1
    s[ai-1]<=s[bi]-ci
    s[i-1]<=s[i]-0
    s[i]<=s[i-1]+1
    */
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y,c;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);
        ins(y+1,x,-c);//s[x-1]<=s[y]-c
        //看这和最短路代码if(d[y]>d[x]+a[k].d)d[y]=d[x]+a[k].d是不是很像=>d[y]<=d[x]+a[k].d
        //所以把s[x-1]看成d[y],s[y]看成d[x],-c看成a[k].d，也就是由y到x-1新建一条值为-c的边
        mmax=max(y+1,mmax);
        mmin=min(x,mmin);
    }
    for(int i=mmin;i<mmax;i++)
    {
        ins(i,i-1,0);//s[i-1]<=s[i]-0
        ins(i-1,i,1);//s[i]<=s[i-1]+1
    }
    memset(ru,0,sizeof(ru));
    int top=0;for(int i=mmin;i<=mmax;i++){sta[++top]=i;ru[i]++;}//在执行SPFA之前需要将所有的点入栈，保证每个点都访问得到
    //top必须是mmax，因为建边是从y到x-1，而存y的是mmax，所以只能由mmax作为起点
    memset(v,true,sizeof(v));v[sta[top]]=0;
    memset(d,63,sizeof(d));d[sta[top]]=0;
    while(top!=0)
    {
        int x=sta[top];top--;
        for(int k=last[x];k;k=a[k].next)
        {
            int y=a[k].y;
            if(d[y]>d[x]+a[k].c)
            {
                d[y]=d[x]+a[k].c;
                if(v[y]==true)
                {
                    v[y]=false;
                    ru[y]++;
                    sta[++top]=y;
                    if(ru[y]>=(mmax-mmin))return 0;//两点间如果有最短路，那么每个点最多经过一次
//也就是说，这条路不超过（n-1）条边。只要有一个点进栈次数大于（n-1）次，那么就说明存在负环
//在这题里n=maxx-minn+1，所以n-1=maxx-minn,只要有负环，那么证明不等式组无解
                }
            }
        }
        v[x]=true;
    }
    printf("%d\n",d[mmax]-d[mmin]);
    return 0;
}