BZOJ2440 [中山市选2011]完全平方数

Posted 2020-08-14 ljh2000

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。 

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9, T ≤ 50

 

 

正解：二分答案+容斥+莫比乌斯反演

解题报告：

　　最近刷莫比乌斯反演刷上瘾了...

　　这类题都成套路了，预处理莫比乌斯函数，就是一个板子，然后扫一遍计算答案。

　　这题要求第k个没有平方因子的数，直接二分答案，然后判断区间内的数的数量是否可行。其实这道题问的很裸啊，没有平方因子不就意味着μ(i)!=0吗...所以我们二分出了一个n之后，就计算区间的答案，根据容斥原理，满足要求的ans=n-只有一个质数因子次数大于等于2的个数+只有2个质数因子大于等于2的个数-...，这样的复杂度是sqrt(n)的。所以非常简单啦。

 

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 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdio>
 6 #include <cmath>
 7 #include <algorithm>
 8 #include <ctime>
 9 #include <vector>
10 #include <queue>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 #define N 100000
14 using namespace std;
15 typedef long long LL;
16 const LL inf = (1LL<<31)-1;
17 const int MAXN = 100011;
18 LL l,r;
19 int ans;
20 int mobius[MAXN],k;
21 int prime[MAXN],cnt;
22 bool ok[MAXN];
23 
24 inline int getint()
25 {
26     int w=0,q=0; char c=getchar();
27     while((c<‘0‘ || c>‘9‘) && c!=‘-‘) c=getchar(); if(c==‘-‘) q=1,c=getchar(); 
28     while (c>=‘0‘ && c<=‘9‘) w=w*10+c-‘0‘, c=getchar(); return q ? -w : w;
29 }
30 
31 inline void init(){
32     mobius[1]=1;
33     for(int i=2;i<=N;i++) {
34     if(!ok[i]) prime[++cnt]=i,mobius[i]=-1;
35     for(int j=1;j<=cnt && prime[j]*i<=N;j++) {
36         ok[i*prime[j]]=1;
37         if(i%prime[j]) mobius[i*prime[j]]=-mobius[i];
38         else { mobius[i*prime[j]]=0; break; }
39     }
40     }
41 }
42 
43 inline bool check(LL x){
44     LL div=sqrt(x); int tot=0;
45     for(int i=1;i<=div;i++) {
46     tot+=mobius[i] * (x/(i*i));
47     }
48     //tot=x-tot;
49     if(tot>=k) return true;
50     return false;
51 }
52 
53 inline void work(){
54     init(); int T=getint(); LL mid;
55     while(T--) {
56     k=getint(); l=1; r=inf; ans=inf;
57     while(l<=r) {
58         mid=(l+r)/2;
59         if(check(mid)) ans=mid,r=mid-1;
60         else l=mid+1;
61     }
62     printf("%d\n",ans);
63     }
64 }
65 
66 int main()
67 {
68     work();
69     return 0;
70 }