某部分方阵的特征值理解

Posted 2020-08-14 CYRUS HO

以二维情况为例，假设我们研究两类方阵，一类是旋转变换矩阵R，一类是缩放变换矩阵S。用“坐标系不变，向量变化”的角度来看，y=Rx将原向量x旋转某个角度得到新向量y，y=Sx将原向量x的x分量与y分量分别缩放S11倍和S22倍，然后再合成得到新向量y。

 

接下来我们进一步看看S。y与x不一定同方向，有两种情况例外。第一种是S11的绝对值=S22的绝对值，这样x的x分量和y分量得到相同的缩放倍数，合成得到的新向量y自然与x平行，这种情况是限制了S，也就是限制了向量操作。另一种例外情况是，原向量x恰好与x轴或者y轴平行，这样x的y分量或者x分量就是0，即使S11绝对值与S22绝对值不相等，新向量y依然与x平行，这种情况是限制了x，也就是限制了向量操作对象。

 

然后我们来看一下y=Ax，其中A=R’*S*R，R’是R的转置，也就是R的逆矩阵。我们来看看这一系列乘法发生了什么事情。首先R*x，通过逆时针旋转x theta度得到中间向量k，然后S*k，通过将k的x分量与y分量分别缩放S11倍和S22倍再合成得到中间向量m，最后R’*m，顺时针旋转m theta度得到最终向量y。

 

好了，现在我们来考虑一个问题。x在满足什么情况下y与x平行？如果S是单位矩阵，y=R’*R*x那就相当于把向量x逆时针旋转一下，又顺时针旋转回来，y=x。如果S是前述的第一种例外情况的话（S11绝对值=S22绝对值），y与x平行，但是这就对S有了要求，并不符合我们的问题（x满足何条件而不是R或S满足何条件）因此，需要满足上述的第二种例外情况，但要注意，S并不是作用在x上，而是作用在R*x上，所以要求R*x与x轴或者y轴平行。

 

这样我们可以得到一个答案，如果x经过R变换，也就是逆时针旋转theta得到中间向量k之后，k恰好与x轴或者y轴平行的话，那么S*k=m自然与k平行，再顺时针旋转theta回来得到向量y自然也就与x平行。

 

既然这种情况下y=Ax与x平行，就相当于y=lambda*x，lambda为一系数。是不是很熟悉，没错，这就是Ax=lambda*x，也就是方阵A的特征值lambda的含义。不嫌啰嗦的说一下，如果A=R’*S*R，x使得k=R*x与x轴平行的话，无论S22等于多少，m=S*k=S11*k，y=S11*x，即lambda=S11；类似地，x使得k=R*x与y轴平行的话，无论S11等于多少，m=S*k=S22*k，y=S22*x，即lambda=S22。也就是说存在两族特别的非零向量x，前者恒有Ax=S11*x，后者恒有Ax=S22*x；称S11和S22为A的特征根/特征值，而这两族非零向量x为对应的特征向量。