机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（16）：方阵的特征值与特征向量

Posted 2021-10-16 海轰Pro

目录

• 前言
• 往期文章
• 5.2 方阵的特征值与特征向量
• • 定义6
  • 定理2
  • 举例
  • • 例5
    • 例6
    • 例8
    • 例9
    • 例10
• 结语

前言

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5.2 方阵的特征值与特征向量

定义6

设$A$是$n$阶矩阵，如果数$\lambda$和$n$维非零列向量$x$使关系式

$$Ax=\lambda x\text{\hspace{1em}(1)}$$

成立，那么数$\lambda$称为矩阵$A$的特征值，非零向量$x$称为$A$的对应特征值$\lambda$的特征向量

（1）式也可以写为

$$(A-\lambda E)x=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

（2）式有非零解说明$|A-\lambda E|=0$

方程$Ax=0$有非零解时，说明$R(A)<n$，即$|A|=0$

即

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & ...& a_{2n}\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}-\lambda \end{array}\right]=0\text{\hspace{1em}(3)}$$

（3）式是以$\lambda$为未知数的一元n次方程，称为矩阵A的特征方程；$|A-\lambda E|$是$\lambda$的n次多项式，记作$f(\lambda )$，称为矩阵A的特征多项式

• $A$的特征值就是特征方程的解
• 特征方程在复数范围内一定有解，其解的个数为方程的次数
• $n$阶矩阵$A$在复数范围内有$n$个特征值

---

性质1：设$n$阶矩阵$A=(a_{ij})$的特征值为${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$，则有

• ${\lambda }_1+{\lambda }_2+...+{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$
• ${\lambda }_1{\lambda }_2....{\lambda }_n=|A|$

性质2：设$\lambda ={\lambda }_i$为矩阵$A$的一个特征值，则由方程

$$(A-{\lambda }_{i}E)x=0$$

求得非零解$x=p_i$，那么$p_i$就是$A$的对应于特征值${\lambda }_i$的特征向量

显然$p_i$是矩阵$A$对应于特征值${\lambda }_i$的特征向量
那么$k{p}_i$也是矩阵

以上是关于机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（16）：方阵的特征值与特征向量的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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