什么是特征值和特征向量

Posted 2023-04-15

参考技术A 特征向量的几何意义
特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵(既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量)乘以一个向量的结果仍
是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可
以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想
一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能
是零向量)，所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义ax=
cx,你就恍然大悟了,看到了吗？cx是方阵a对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)，而且x是特征向量的话，ax也是特征向量(a是标
量且不为零)，所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族，
另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不是那么重要，虽然我们求这两个量时
先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！
比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1
0;0
-1]，其中分号表示换行，显然[1
0;0
-1]*[a
b]'=[a
-b]',其中上标'表示取转置，这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显
然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是
[a
0]'(a不为0)，还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0
b]'(b不为0)也是其特征向量，去求求矩阵[1
0;0
-1]的特征向量就知道对不对了! 参考技术B 特征向量是一个非简并的向量，在这种变换下其方向保持不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。
特征值是线性代数中的一个重要概念。
线性变换通常可以用其特征值和特征向量来完全描述。特征空间是一组特征值相同的特征向量。“特征”一词来自德语的eigen。
希尔伯特在1904年第一次用这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。
扩展资料：
求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）。
参考资料来源：搜狗百科-特征值
参考资料来源：搜狗百科-特征向量

特征值和特征向量

求特征值和特征向量

1. 特征值：λ

求解一下式子：

 

2. 特征向量：x

求下式的非零解

 

特征值、特征向量和旋转矩阵

在定义中，矩阵A（方阵）可以表示一种坐标系间的空间变换。 

数学上已经证明，必然存在至少一个方向，在这个变换作用后，仍然方向不改变，

 

特征向量：在这个变换中，这个不变的方向对应的方向向量（归一化以后，才是单位向量）。

特征值： 在这个变换中，该方向上的缩放比例。（虽然方向不变，但是缩放还是有的）

 

旋转矩阵（没有平移）中

特征向量 ：这个旋转的中心轴的方向（叉乘的方向）

特征值：旋转的角度。

 

参考：

各种书籍和博客（原谅我找不到原来的资料了。。）