权重最小生成树的思想与Kruskal算法

Posted 2020-08-09

    晚上做携程的笔试题，附加题考到了权重最小生成树。OMG，就在开考之前，我还又看过一遍这内容，可因为时间太紧，也从来没有写过代码，就GG了。又吃了眼高手低的亏。这不，就好好总结一下，亡羊补牢。

    权重最小生成树问题是指在一棵无向全连接图中找到一个无环子集T，既能将所有的结点连接起来，又具有最小的权重和。

    解决问题的核心是每次找到一条安全边加入到边集合A中，使得A仍然是某棵最小生成树的子集。

    Kruskal找到安全边的方法是：在所有连接森林中两棵不同树的边里面，找到权重最小的边（u，v），（1）如果u和v位于不同的子树，则该边就是一个安全边，将u和v位于的子树合并起来；（2）如果u和v位于相同子树，则该边不是一个安全边，如果将两棵子树连接起来，就会形成一个环。

    我用详细注释的代码说明问题：

//合并节点a和b所属的两棵子树
void Union(int a, int b, int V,vector<int>& root)
{
    int root_a = root[a],root_b = root[b];
    //把b所在树的所有顶点都移植过去给a...  
        
    for (int i = 0; i < V; i++)
        if (root[i] == root_b)
            root[i] = root_a;
}
//sort的比较函数
bool compare(const CEdge &a, const CEdge &b)
{
    return  a.weight < b.weight;
}
//Kruskal最小生成树算法
void Kruskal(int V, int E, vector<CEdge> &e,vector<int>& root)
{
    //以权重为参考值，排序所有边
    sort(e.begin(), e.end(), compare);
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < E; i++)
        if (root[e[i].u]!=root[e[i].v]) //如果e[i].u和e[i].v不属于同一棵子树
        {
            cout << e[i].u << "---" << e[i].v << " "<<e[i].weight<<endl;//加入该边
            Union(e[i].u, e[i].v, V,root);           //合并两棵子树

            //易知最小生成树拥有V-1条边
            //如果已经组成最小生成树，就退出循环
            ++cnt;
            if (cnt >= V - 1)
                break;
        }
}
int main()
{
    int V = 4;
    vector<CEdge> edges;
    edges.push_back({ 0, 1, 1 });
    edges.push_back({ 0, 2, 2 });
    edges.push_back({ 0, 3, 3 });
    edges.push_back({ 1, 2, 4 });
    edges.push_back({ 1, 3, 5 });
    edges.push_back({ 2, 3, 2 });
    
    //使用一个vector来表示各个子树（即集合A），
    //root[i]=j，表示节点i与节点j位于同一子树上，并且所有位于此树的节点k，都有root[k]=j;
    //初始化root[i]=i，表示每棵子树只是一个节点
    vector<int> root(V, 0);
    for (int i = 0; i < V; ++i)
        root[i] = i;

    //执行算法
    Kruskal(V, edges.size(), edges, root);

    while (1);
    return 0;
}

程序输出：

0---1 1
0---2 2
2---3 2