最小生成树算法：Kruskal算法 Prim算法

Posted 2020-12-26 lif323

定义

对于连通的无向图G(V,E),如果一个E的无环子集T,可以连接所有节点，并且又具有最小权重，称树g(V,T)为图G(V,E)的最小生成树。

概念

伪代码

 Kruskal算法和Prim算法均使用贪心策略实现，两者的实现框架可由下列伪代码表示，首先，是一些叙述时使用的概念。
集合A：某棵最小生成树的子集。
安全边：加入集合A又不会破坏A性质的边。
begin
    A初始为空
    while(A未形成最小生成树)
        选择一条安全边。
        将安全边加入A。
end

算法正确性证明

主要使用 循环不变式进行证明(这个概念在算法导论中经常用到)
循环不变式： 在每遍循环开始之前，A是某棵最小生成树的子集。

初始化：集合A直接满足循环不变式
保持：算法循环中，选择安全边保证了该性质。
终止：当算法终止时，所有边均属于某棵最小生成树，所以算法正确。

关于安全边

预先的一些概念：
切割：无向图G(V,E)的一个切割(S,V-S)是集合V的一个划分。
横跨：如果边e属于E,且e的一个端点属于S,另一端点属于V-S,则该边横跨切割(S,V - S)
尊重：如果一个E的子集A中不存在横跨切割(S,V - S)的边，则称该切割尊重集合A.
轻量级边：在横跨一个切割的所有边中，权重最小的边称为轻量级边。
 
定理：对于无向连通图G(V,E),A为E的子集且包含在在某可最小生成树中，设集合(S,V-S)为图G中尊重A的一个切割，若e为横跨切割(S,V-S)的一条轻量级边，
则e对于集合A是安全的,即e为集合A的一条安全边。
(下面的证明类似读书笔记，严谨的证明请参考算法导论)
证明：假设轻量级边e两个端点u,v,(e横跨切割，所以u，v分别属于S,V - S),假设A包含在最小生成子树T(假设T不包含e)中，则 T中存在一条简单路径p由u到v,
并且T 存在一条边e‘属于该路径并且横跨该切割，现在删除e‘并且加入e形成另一个生成树T‘,因为权重e <= e‘ 所以 权重T‘ <= T;因为T为最小生成树，
所以T‘也为最小生成树。即加入边e后集合A包含在最小生成树T‘中，即边e对于集合A为安全边。
推论：对于无向连通图G(V,E),A为E的子集且包含在在某可最小生成树中，
            C(Vc,Ec)为森林G‘(V,A)(包含G所有顶点,以及集合A中边，由A的定义，G‘无环，且包含多个连通分量，由此构成森林G‘)中的一个连通分量,
            如果e连接C和其他连通分量的一条轻量级边，则e对集合A是安全的。
证明：容易知道，切割(Vc,V - Vc)尊重A,由定理可得推论正确性。

Kruskal算法：集合A为森林。寻找安全边的方式是，权重最小且连接两个连通分量(树)的边。
Prim算法：集合A为树。寻找安全边的方式为，连接A与A之外节点的权重最小的边。

Kruskal算法

主要使用并查集来查询集合选择的边是否属于同一连通分量。

伪代码

    begin
        A初始为空
        建立并查集
        按照权重对边进行升序排序。
        按顺序考察每条边：
                    如果边端点分别属于不同连通分量，加入该边。
    end  

代码实现

主要实现了并查集（按秩合并 和 路径压缩）

int a[101];
int rk[101];
void init_set()
{
    for(int i = 1; i <= 100; ++i)
    {
        a[i] = i;
        rk[i] = 1;
    }
}
int find_set(int x)
{
    int p = x;
    while(a[p] != p)
    {
        p = a[p];
    }
    int now = x;
    int tmp = 0;
    while(now != p)
    {
        tmp = a[now];
        a[now] = p;
        now = tmp;
    }
    return p;
}
void merge(int xp ,int yp)
{
    if(rk[xp] > rk[yp])
    {
        a[yp] = xp;
    }
    else 
    {
        a[xp] = yp;
        if(rk[xp] == rk[yp])
        {
            ++rk[yp];
        }
    }
}
struct Nod
{
    int x,y,w;//分别表示边的端点x,y和边的权重w.
    Nod():x(0),y(0),w(0){}
    bool operator < (const Nod& tmp)const
    {
        return w < tmp.w;
    }
};
int kruskal()
{
    init_set();
        int e = n*n;//边的数量；
    sort(nod,nod + e);
    int s1,s2;
    for(int i = 1; i <= e; ++i)
    {
        s1 = find_set(nod[i].x);
        s2 = find_set(nod[i].y);
        if(s1 != s2)
        {
            merge(s1,s2);
        }
    }
    return ret;
}

时间复杂度分析

O(ElgV)
详细分析暂时跳过：

Prim 算法

#define INF 0x7fffffff
int in[101];
struct Nod
{
    int id,key;//分别为节点的序号和集合A到该节点权重最小的边的权重。
    Nod():id(0),key(0){}
    bool operator <(const Nod& tmp)const
    {
        return key > tmp.key;
    }
};
int key[101];//集合A到该节点的边的权重，不存在该边，设为无穷大。
void prim(int r)
{
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        key[i] = INF;
        in[i] = 0;
    }
        
    Nod tmp;
    key[r] = 0;
    tmp.id = r;
    tmp.key = 0;
    priority_queue<Nod> q;//使用优先队列维护待选择的节点。
    q.push(tmp);
    while(!q.empty())//操作1，取点
    {
        tmp = q.top();
        q.pop();
        if(key[tmp.id] < tmp.key)continue;
        int id = tmp.id;
        in[id] = 1;//标记为1,,标识属于最小生成树集合；

                 //操作2,考察边。
        for(int i = 1; i <= n; ++i)//边数较少可使用邻接边实现，这里使用矩阵实现，
        {
            if(!in[i] && a[id][i] < key[i])
            {
                key[i] = a[id][i];
                tmp.id =i;
                tmp.key = key[i];
                q.push(tmp);
            }
        }
    }
}

时间复杂度分析

操作1:使用优先队列实现，时间复杂度为lg(V)
操作2：考察所有边，时间复杂度O(E)
总的时间复杂度为：O(Elg(V));

主要参考算法导论，如有错误，恳请指正