图的最小生成树算法(Prim和Kruskal)

Posted 2023-04-30

参考技术A

图的邻接矩阵表示法可参考： https://www.jianshu.com/p/9f27288f6749
测试图如图所示：

思想：先选取一个顶点加入最小生成树，再选取与该顶点相连的边中的最小权值对应的顶点加入生成树，将这两个顶点作为一棵新的最小生成树，继续判断与该树相连的边的最小权值对应的顶点，并将其加入最小生成树，直到所有顶点均加入生成树为止。

测试程序

测试结果：

思想：将图的存储结构使用边集数组的形式表示，并将边集数组按权值从小到大排序，遍历边集数组，每次选取一条边并判断是否构成环路，不会构成环路则将其加入最小生成树，最终只会包含n-1条边(n为无向图的顶点数)。

边集数组的结构如图所示：

测试程序：

测试结果：

最小生成树为：

普里姆算法针对顶点展开，通过不断寻找与已构建的生成树的最小边来不断构建新的生成树。普里姆算法对于稠密图，也就是边数非常多的情况会更好一些，因为其是通过顶点来展开的。算法时间损耗主要来源于嵌套的for循环，所以时间复杂度为O(n^2)。

克鲁斯卡尔算法针对边展开，通过对边集数组的遍历来构建最小生成树，但是过程中必须避免构成环路。克鲁斯卡尔算法对于稀疏图，也就是边数较少的情况效率会很高。此算法的Find函数由边数e决定，时间复杂度为O(loge)，再加上外层for循环的e次，所以时间复杂度为O(eloge)。

图论最小生成树Prim和Kruskal算法

在数据结构的教材上，讲到的图的最小生成树算法有两种，一种是Prim（普利姆）算法，一种是Kruskal（克鲁斯卡尔）算法。

两种算法的生成思路有所不同：

Prim算法：

算法思想：

　　算法思想就是每次找到一个距离生成集合最近的点，加入，然后更新距离剩余点之间的距离，继续迭代。

算法步骤：

1.任意选择一个点作为起点，将该点标记为已加入最小生成树，使用一个数组表示该点已加入，join[i] = 1表示i点已加入集合；

2.将最小生成树集合作为整体，计算到其他未加入该集合的点（jion[i] == 0的点）之间的距离，使用dis[i]表示，dis[i] 表示集合距离点i之间的距离；

3.然后找出dis[i] 中距离最小的，那么 i 就是下一个要加入集合的点

4. 将join[i]赋值为1，表示已加入

5. 重新计算dis[i]。因为有新的点加入，判断该点的加入是否使集合距离其他未加入的点之间的距离变小，如果有变小，则更新dis[i]。

6.继续执行步骤3，直到所有的点都加入join数组（其实是查找n-1次后自动结束，因为指定的起始点，所有只需要再查找n-1次，即for循环从2到n即可）

疑问：Prim算法求得了最小代价，可没有保留下生产路径，不知道是不是自己的理解还不到位或者代码实现不合理。

Kruskal算法：

算法思想：

　　首先将所有的边按照权重从小到大排序，然后依次取出一条边，尝试将组成集合。如果两个点已经在同一个集合，说明已经添加了，则跳过；如果尚未加入集合，这组成一个新的集合；如果是在不同的集合，则将集合合并，形成一个新的集合，直到取出n-1条有效的边或者所有点都在一个集合中，则表示已生成。

1.使用排序算法将边按权重从小到大排序

2.初始时，点均为构成集合（或者说自成集合，这里理解为未成集合），使用join数组表示集合，初始是join[i]均为0.

3.取出一条边，判断两个点 i，j

　　1）如果group[i]，group[j] 都为0，则说明都还没有加入集合，那么设置group[i] = group[j] = count （count用来表示加入的边数，也能够用来区分集合）

　　2）如果group[i]，group[j] 不相等，说明两个点不在同一个集合。

　　　　如果i,j有一个的join值为0，说明未加入，那么只需设置这个点的join值也已加入的那个点一致。

　　　　如果两个点都已加入集合，但是处在不同结合，那么此时就需要合并集合。（变量group，把两个集合的点设置为同样的值）

4.所有点在group里对应的值一致，表示形式了最小生成树集合。