组合数学及其应用——容斥原理

Posted 2020-08-09 黑大帅之家

  容斥原理在集合论、概率论、组合数学中都常常出现，它是下面一个结论的推广。

 

  这是因为，我们分别减|A|、|B|的时候，把|AB|减掉了两次，因此这里应该再加一次。

  它的推广形式就是容斥定理。

  

   在给出证明之前，我们很有必要充分的理解一下这个公式的内涵。我们基于S集合上的一系列离散元素上讨论不满足m个性质的对象(元素)个数。我们假想某一种性质的具体表现为：一根丝带，圈住了满足这一条性质的所有元素(本质上就是画Venn图)，现在我们想要求的就是没有被特定的m条丝带圈出的元素个数。

    这个定理再利用德摩根律能够做出等价变化，它在计数、反演公式等方面发挥着重要作用。