bzoj 4517: [Sdoi2016]排列计数容斥原理+组合数学

Posted 2020-10-20 lokiii

第一个一眼就A的容斥题！
这个显然是容斥的经典问题------错排，首先考虑没有固定的情况，设\( D_n \)为\( n \)个数字的错排方案数。
\[ D_n=n!-\sum_{t=1}^{n}(-1)^{t-1}\sum_{i_1<i_2<...<i_t}(n-t)! \]
\[ D_n=n!+\sum_{t=1}^{n}(-1)^tC_{n}^{t}(n-t)! \]
\[ D_n=n!+\sum(-1)^t\frac{n!}{t!} \]
推到这一步就可以了，然后观察数据范围显然是要线性预处理，于是计算递推式：
\[ D_{(n+1)}=(n+1)!+\sum_{t=1}^{n+1}(-1)^t\frac{(n+1)!}{t!} \]
\[ D_{(n+1)}=(n+1)!+(n+1)\sum_{t=1}^{n+1}(-1)^t\frac{n!}{t!} \]
\[ D_{(n+1)}=(n+1)!+(n+1)(\sum_{t=1}^{n}(-1)^t\frac{n!}{t!}+(-1)^{n+1}\frac{n!}{(n+1)!}) \]
\[ D_{(n+1)}=(n+1)!+(n+1)\sum_{t=1}^{n}(-1)^t\frac{n!}{t!}+(-1)^{n+1} \]
\[ D_{(n+1)}=(n+1)(n!+(n+1)\sum_{t=1}^{n}(-1)^t\frac{n!}{t!})+(-1)^{n+1} \]
\[ D_{(n+1)}=(n+1)D_n+(-1)^{n+1} \]
\[ D_i=i*D_{i-1}+(-1)^i \]
然后考虑有\( m \)的限制，就相当于\( m \)个数字固定，剩下\( n-m \)个数字错排，直接从预处理的\( D \)里面查即可，最后乘上选出\( m \)个固定位的方案数，对组合数预处理阶乘、逆元。由此可得答案为：
\[ ans=D_{(n-m)}*C_{n}^{m} \]
这东西推起来真刺激

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const long long N=1000005,mod=1e9+7;
long long T,n,m,inv[N],fac[N],cp[N];
int read()
{
    int r=0;
    char p=getchar();
    while(p>‘9‘||p<‘0‘)
        p=getchar();
    while(p>=‘0‘&&p<=‘9‘)
    {
        r=r*10+p-48;
        p=getchar();
    }
    return r;
}
long long ksm(long long a,long long b)
{
    long long r=1ll;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            r=r*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return r;
}
long long C(long long n,long long m)
{
    return fac[n]*inv[n-m]%mod*inv[m]%mod;
}
int main()
{
    fac[0]=1;
    for(long long i=1;i<=N-5;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[N-5]=ksm(fac[N-5],mod-2);
    for(long long i=N-6;i>=0;i--)
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    cp[0]=1;//这里的cp数组即是上文提到的D（cuopai 23333）
    for(long long i=1;i<=N-5;i++)
        cp[i]=(i*cp[i-1]+((i&1)?-1:1))%mod;
    T=read();
    while(T--)
    {
        n=read(),m=read();
        printf("%lld\n",(cp[n-m]*C(n,m)%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}