BZOJ 2005[Noi2010]能量采集 （容斥原理| 欧拉筛+ 分块）

Posted 2020-08-05 konjak魔芋

能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4


【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36

【样例输出2】
20

【数据规模和约定】
对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；

对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；

对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；

对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

 

 

 

 

 

　　感觉我自己很难想出来哈~
　　O(nlogn)：f[i]表示不超过限制时gcd(a,b)=i的对数，从后往前做然后减掉多算的：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn =100005;
typedef long long LL ;
LL f[maxn];///f[i]表示满足gcd(x,y)=i的对数
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    LL t=min(n,m);
    LL ans=0;
    for(int i=t;i;i--){
        f[i]=(LL)(m/i)*(n/i);
        for(int j=i+i;j<maxn;j+=i)
            f[i]-=f[j];
        ans+=f[i]*(2*i-1);
    }
    printf("%lld\\n",ans);
    return 0;
}

　　

　　把他们累加起来计算即可。

 

O(n):∑(a,b) (1<=a<=n,1<=b<=m) = ∑phi[d]*⌊n/d⌋*⌊m/d⌋
具体见ppt证明。

 

O(√n)：用分块方法计算上式

　　可见，形式类似d*√（n/d）的可以考虑分块优化来做~~
 

 

代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cmath>
 7 using namespace std;
 8 #define Maxn 100010
 9 #define LL long long
10 
11 LL pri[Maxn],phi[Maxn],cnt;
12 bool q[Maxn];
13 
14 LL mymin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;}
15 
16 void get_phi(LL mx)
17 {
18     memset(q,1,sizeof(q));
19     cnt=0;
20     phi[1]=1;
21     for(LL i=2;i<=mx;i++)
22     {
23         if(q[i])
24         {
25             pri[++cnt]=i;
26             phi[i]=i-1;
27         }
28         for(LL j=1;j<=cnt;j++)
29         {
30             if(i*pri[j]>mx) break;
31             
32             q[i*pri[j]]=0;
33             // int a=0,b=i;
34             // while(b%pri[j]==0) b/=pri[j],a++;
35             if(i%pri[j]==0) phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
36             else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
37             
38             if(i%pri[j]==0) break;
39         }
40     }
41 }
42 
43 int main()
44 {
45     get_phi(100000);
46     int T=1;
47     while(T--)
48     {
49         LL ans=0;
50         LL n,m;
51         scanf("%lld%lld",&n,&m);
52         
53         for(LL i=1;i<=mymin(n,m);i++)
54         {
55             ans+=phi[i]*(n/i)*(m/i);
56             // printf("%d %d\\n",i,phi[i]*(n/i)*(m/i));
57         }
58         
59         ans=2*ans-m*n;
60         
61         printf("%lld\\n",ans);
62     }
63     return 0;
64 }

O（nlogn）

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cmath>
 7 using namespace std;
 8 #define Maxn 100010
 9 #define LL long long
10 
11 LL pri[Maxn],phi[Maxn],h[Maxn],cnt;
12 bool q[Maxn];
13 
14 LL mymin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;}
15 
16 void get_phi(LL mx)
17 {
18     memset(q,1,sizeof(q));
19     cnt=0;
20     phi[1]=1;
21     for(LL i=2;i<=mx;i++)
22     {
23         if(q[i])
24         {
25             pri[++cnt]=i;
26             phi[i]=i-1;
27         }
28         for(LL j=1;j<=cnt;j++)
29         {
30             if(i*pri[j]>mx) break;
31             
32             q[i*pri[j]]=0;
33             // int a=0,b=i;
34             // while(b%pri[j]==0) b/=pri[j],a++;
35             if(i%pri[j]==0) phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
36             else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
37             
38             if(i%pri[j]==0) break;
39         }
40     }
41     h[1]=phi[1];
42     for(int i=2;i<=mx;i++) h[i]=h[i-1]+phi[i];
43 }
44 
45 int main()
46 {
47     get_phi(100000);
48     int T=1;
49     while(T--)
50     {
51         LL ans=0;
52         LL n,m,t;
53         scanf("%lld%lld",&n,&m);
54         if(n>m) t=n,n=m,m=t;
55         
56         int sq=(int)ceil(sqrt((double)m));
57         
58         for(LL i=1;i<=sq;i++)
59         {
60             ans+=phi[i]*(n/i)*(m/i);
61         }
62         
63         for(LL i=sq+1;i<=n;)
64         {
65             int x=n/i,y=m/i;
66             int r1=n/x+1,r2=m/y+1;
67             int r=mymin(r1,r2);
68             if(r>n+1) r=n+1;
69             ans+=x*y*(h[r-1]-h[i-1]);
70             i=r;
71         }
72         
73         ans=2*ans-m*n;
74         
75         printf("%lld\\n",ans);
76     }
77     return 0;
78 }

O（√n） 分块

 

 

2016-08-30 09:16:28