poj1284-Primitive Roots欧拉函数-奇素数的原根个数

Posted 2020-06-13

http://poj.org/problem?id=1284

题意：给定一个奇素数p，求p的原根个数。

原根： { (xⁱ mod p) | 1 <= i <= p-1 } is equal to { 1, ..., p-1 }，则x是p的原根。

 

题解：结论：奇素数p的原根个数为phi（p-1）。

证明：

对于给出的素数p,
首先要明确一点：p的元根必然是存在的(这一点已由Euler证明，此处不再赘述)，因此，不妨设其中的一个元根是a0(1<=a0<=p-1)
按照题目的定义，a0^i(1<=i<=p-1) mod p的值是各不相同的，再由p是素数，联系Fermat小定理可知：q^(p-1) mod p=1;(1<=q<=p-1)(这个在下面有用)
下面证明,如果b是p的一个异于a的元根，不妨令b与a0^t关于p同余，那么必然有gcd(t,p-1)=1,亦即t与p-1互质;反之亦然;
证明：
若d=gcd(t,p-1)>1,令t=k1*d,p-1=k2*d,则由Fermat可知
(a0^(k1*d))^k2 mod p=(a0^(k2*d))^(k1) mod p=(a0^(p-1))^(k1) mod p=1
再由b=a0^t (mod p)，结合上面的式子可知：
(a0^(k1*d))^k2 mod n=b^k2 mod p=1;
然而b^0 mod p=1,所以b^0=b^k2 (mod p),所以b^i mod p的循环节=k2<p-1，因此这样的b不是元根；
 
再证，若d=gcd(t,p-1)=1,即t与p-1互质，那么b必然是元根；
否则假设存在1<=j<i<=p-1，使得b^j=b^i (mod p),即a0^(j*t)=a0^(i*t) (mod p),由a0是元根，即a0的循环节长度是(p-1)可知，(p-1) | (i*t-j*t)->(p-1) | t*(i-j),由于p与
t互质，所以(p-1) | (i-j),但是根据假设,0<i-j<p-1,得出矛盾，结论得证；

由上面的两个证明可知b=a0^t (mod p)，是一个元根的充要条件是t与p-1互质，所有的这些t的总个数就是Phi(p-1);

引用自http://poj.org/showmessage?message_id=158630

    这个证明非常机智啊，我就根本没有想到要拆分p-1和t。要记住这种拆分的思路。注明：Fermat就是费马小定理。。

    因为题目的数据范围比较小，所以我就没有用欧拉筛直接分解质因数了。

 

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL eular(LL x)
{
    LL ans=x,k=2;
    while(x!=1)
    {
        if(x%k==0) 
        {
            ans/=k;
            ans*=(k-1);
        }
        while(x%k==0) x/=k;
        k++;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    // freopen("a.in","r",stdin);
    // freopen("a.out","w",stdout);
    LL x;
    while(scanf("%I64d",&x)!=EOF)
    {
        printf("%I64d\n",eular(x-1));
    }
    return 0;
}

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