HDU2841 Visible Trees（容斥原理）

Posted 2020-06-13

题目。。大概就是有个m*n个点的矩形从(1,1)到(m,n)，问从(0,0)出发直线看过去最多能看到几个点。

如果(0,0)->(x,y)和(0,0)->(x‘,y‘)两个向量平行，那后面的那个点就看不到了。

因此给出一个点(x,y)，判断它能否被看到，就是是否能找到一个大于1的k，使k|x且k|y。

这样，问题就能转变为有几个点的x、y找不到公约数，即有几对x、y，满足x和y互质。

可以通过枚举x，看有几个y与其互质累加。这样问题就又变成，区间有几个数与某个数互质，经典的容斥问题HDU4135。

时间复杂度方面，1 ≤ m, n ≤ 100000，前7个素数乘积就超过100000了，即一个数最多有6个质因数，大概估个非常松的上界$O((\\sqrt m+2^6)n)$，应该是妥妥的。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int prime[7],pn;
int getCnt(int n,int m){
    pn=0;
    for(int i=2; i*i<=m; ++i){
        if(m%i) continue;
        while(m%i==0) m/=i;
        prime[pn++]=i;
    }
    if(m!=1) prime[pn++]=m;
    int res=0;
    for(int i=1; i<(1<<pn); ++i){
        int tmp=1,cnt=0;
        for(int j=0; j<pn; ++j){
            if(((i>>j)&1)==0) continue;
            tmp*=prime[j];
            ++cnt;
        }
        if(cnt&1) res+=n/tmp;
        else res-=n/tmp;
    }
    return n-res;
}
int main(){
    int t,n,m;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        long long res=0;
        for(int i=1; i<=n; ++i){
            res+=getCnt(m,i);
        }
        printf("%lld\\n",res);
    }
    return 0;
}