HDU 2841 Visible Trees 数论+容斥原理

Posted 2020-07-03 Ritchie丶

容斥原理

题意：给n*m的矩阵有点，左下角的点为(1,1)，右上角的点(n,m)，（其实转回来也是没影响的即m*n），一个人站在（0,0）看这些点，在一条直线的视线上，它只能看到最前面的那个点，后面的点将会被档住他看不到，问你，这个人一共能看到多少个点。

这个问题只要画一下图不难发现，如果一个点(x,y)，x和y有非1的公约数z，那么他们其实可以一起缩小为(x/z,y/z)，试着把这两个点和(0,0)连线，发现他们其实是同一条直线，而(x/z,y/z)

在前面，所以其实(x,y)被挡住了看不到的，这启发了我们，如果我们找到了x和y的最大公约数g，那么(x/g,y/g)一定是这条直线上最前面的点，没有其他店能挡住他，他一定能被看到，而他后面的点都看不到，那么(x/g,y/g)满足的性质就是，这两个数字互质

从而得到一个结论，两个数字(x,y)如果两数互质，则可以被看到，如果不互质，则看不到，所以我们就是要找出所有的二元组(x,y)使他们互质

我们可以固定一个数字，用一个数来循环。例如矩阵为n*m，我们固定m，用n来循环，即1与[1,m]里面多少个数互质，2与[1,m]里面多少个数互质，3与[1,m]里面多少个数互质……n与[1,m]里面多少个数互质，把这些结果全部累加起来即可

所以问题的最后变为了，给定一个数字x，怎么找出它和1到y里面有多少个数互质呢？

两个数字互质，其实就是它们没有公共的质因子，反过来两个数字有公共的质因子则一定不互质，那么我们可以求反面，x与1到y里面多少个数字不互质，然后用y减去即可

在这里我们就用到了容斥原理：先找到有多少个数和x有1个公共的质因子，然后加上；再找到有多少个数与x有2个公共的质因子，然后减去；再找到有多少个数有多少个数与x有3个公共的质因子，然后加上……最后得到的个数，就是有多少个数与x不互质

因为容斥原理一个最基本的准则就是——

要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。(奇数加，偶数减)

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool isp[1010];
int prime[1010],cnt,pp[1010],cnt0,n,m;
ll ans;
void pr()
{
    cnt=0;
    for(int i=2;i<=1000;i++)
    {
        if(!isp[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            for(int j=i+i;j<=1000;j=j+i)
            isp[j]=true;
        }
    }
}
void cal(int cur)
{
    cnt0=0;
    for(int i=0;prime[i]*prime[i]<=cur;i++)
    {
        if(cur%prime[i]==0)
        {
            pp[cnt0++]=prime[i];
            while(cur%prime[i]==0)
            cur/=prime[i];
        }
    }
    if(cur!=1)
    pp[cnt0++]=cur;
}
void dfs(int hav,int cur,int num)
{
    if(hav>m||cur>=cnt0)
    return ;
    for(int i=cur;i<cnt0;i++)
    {
        int temp=hav*pp[i];
        if(num&1)
        ans-=m/temp;
        else
        ans+=m/temp;
        dfs(temp,i+1,num+1);
    }
}
int main()
{
    pr();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        ans=m;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            cal(i);
            ans+=m;
            for(int j=0;j<cnt0;j++)
            {
                ans-=m/pp[j];
                dfs(pp[j],j+1,2);
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}