NOIP2014pj子矩阵[搜索｜DP]

Posted 2020-08-04 Candy?

题目描述

给出如下定义：

1. 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个2*3的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

1. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

2. 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4)

输入输出格式

输入格式：

第一行包含用空格隔开的四个整数n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

输出格式：

输出共1行，包含1个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

输入输出样例

输入样例#1：

5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1

输出样例#1：

6

输入样例#2：

7 7 3 3  
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2 
2 9 5 5 6 1 7 
7 9 3 6 1 7 8 
1 9 1 4 7 8 8 
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6

输出样例#2：

16

说明

【输入输出样例1说明】

该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成，为

6 5 6

7 5 6

，其分值为

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【输入输出样例2说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

9 7 8 9 8 8 5 8 10

【数据说明】

对于50%的数据，1 ≤ n ≤ 12，1 ≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20；

对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 16，1 ≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000，

1 ≤ r ≤ n，1 ≤ c ≤ m。

--------------------------------------------------

爆搜行和列有点玄乎吧，复杂度O(C(16,8)∗(C(16,8)+m3))

多维问题考虑降维，只枚举列，然后用DP求选哪些行

l[]枚举的列，hw[i]i行上相邻列的价值，w[i][j]i行和j行相邻的价值，每次枚举l[]重新预处理比较好

f[i][j]表示选了第i行后共选了j行的最小价值，转移枚举上一行k，f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+w[k][i])　　f[i][j]+=hw[i]

预处理INF,f[i][0]=0,f[i][1]=hw[i］

PS：关于枚举子集的二进制法剪枝后的复杂度，参见TA爷的神奇分析

 

一定把行列分清，我一直95好多次就是因为枚举列时用了n..........

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=20,INF=1e9;
int n,m,r,c,a[N][N];
int l[N],w[N][N],hw[N];
int f[N][N],ans=INF;
void dp(){
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) f[i][j]=INF,w[i][j]=0,hw[i]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=c;j++){
            if(j>=2) hw[i]+=abs(a[i][l[j]]-a[i][l[j-1]]); f[i][0]=0;f[i][1]=hw[i];
            for(int x=i+1;x<=n;x++){
                w[i][x]+=abs(a[i][l[j]]-a[x][l[j]]);
            }
        }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=2;j<=min(r,i);j++){
            for(int k=1;k<i;k++) f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+w[k][i]);
            f[i][j]+=hw[i];
        }
        ans=min(ans,f[i][r]);
    }
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
    
    //inithang();
    for(int s=0;s<(1<<m);s++){
        int cnt=0;
        for(int j=0;j<m;j++)
            if(s&(1<<j)){
                l[++cnt]=j+1;//j+1
                if(cnt>c) break;
                if(cnt+m-j-1<c) break;
            }
        if(cnt==c) dp();
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}