最大公约数（gcd）和 最小公倍数（lcm）——辗转相除法

Posted 2020-06-13

辗转相除法（又称欧几里得算法）是求最大公因数的算法

要求a，b的最大公约数（a>b），我们可以递归地求b，a%b的最大公约数，直到其中一个数变成0，这时另一个数就是a，b的最大公约数。

 

C++实现：

int gcd(int a,int b){

　　retuen b?gcd(b,a%b):a;

}

或：

while(b!=0)  { 
　　temp=a%b;   a=b;   b=temp;  

}

 

证明：（引自百度百科）

设两数为a、b(b<a)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a (mod b) 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。

第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互质【否则，可设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

证毕。

 

时间复杂度：

辗转相除法的运算速度为 O(n）

辗转相除法处理大数时非常高效，它需要的步骤不会超过较小数的位数（十进制下）的五倍。

 

最小公倍数lcm(a,b) = gcd(a,b) * (a/gcd(a,b)) * (b/gcd(a,b))

                          = a*b / gcd(a,b)