ACM数论之旅3---最大公约数gcd和最小公倍数lcm（苦海无边，回头是岸(￣?￣)）

Posted 2020-06-14

gcd(a, b)，就是求a和b的最大公约数

lcm(a, b)，就是求a和b的最小公倍数

然后有个公式

a*b = gcd * lcm     ( gcd就是gcd(a, b)， ( •?∀•? ) 简写你懂吗)

解释（不想看就跳过）{

　　首先，求一个gcd，然后。。。

　　a / gcd 和 b / gcd 这两个数互质了，也就是 gcd(   a / gcd ，b / gcd  )  =  1，然后。。。

　　lcm = gcd *  (a / gcd) * (b / gcd)

　　lcm = (a * b) / gcd

　　所以。。a*b = gcd * lcm

}

所以要求lcm，先求gcd

辣么，问题来了，gcd怎么求

辗转相除法

while循环

1 LL gcd(LL a, LL b){
2     LL t;
3     while(b){
4         t = b;
5         b = a % b;
6         a = t;
7     }
8     return a;
9 }

 

还有一个递归写法

1 LL gcd(LL a, LL b){
2     if(b == 0) return a;
3     else return gcd(b, a%b);
4 }
5 
6 LL gcd(LL a, LL b){
7     return b ? gcd(b, a%b) : a;
8 }
9 //两种都可以

 

 

辣么，lcm = a * b / gcd

(注意，这样写法有可能会错，因为a * b可能因为太大  超出int  或者 超出 longlong)

所以推荐写成 ： lcm = a / gcd * b

然后几个公式自己证明一下

gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b)

lcm(ka, kb) = k * lcm(a, b)

 

上次做题碰到这个公式

lcm(S/a, S/b) = S/gcd(a, b)

S = 9，a = 4，b = 6，小数不会lcm，只好保留分数形式去通分约分。

当我看到右边那个公式。。。。

(╯°Д°)╯┻━┻

这TM我怎么想的到，给我证明倒是会证。 T_T