算法研讨会-含有回溯的递归算法设计探讨
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了算法研讨会-含有回溯的递归算法设计探讨相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
含有回溯的递归程序设计
目录
回溯
1.1 概念
- 递归是一种算法结构、技巧,而回溯是一种算法思想。
- 本质上是一种枚举思想,采用深度优先策略来枚举所有可能解,并且服从一定的择优条件。
- 遵循设定好的择优条件不断深入试探,最终达到目标,但是在试探过程中,若发现当前情况不是最优或者一定无法达到目标时,将返回到上一个状态,对上一个状态进行重新选择后,继续深入试探。
1.2 基本思路
从一条路往前走,能进则进,不能进则退回到最近的岔路,换一条路再试。
1.3 问题举例
1.3.1 N皇后问题
- 要求
在N × N的棋盘上放置N个皇后,这些皇后之间不能相互攻击。(合法位置)
- 思路(不考虑优化)
- 递归:继续深入试探下一行的每一列。
- 递归边界:N个皇后全部摆放完成。
- 回溯条件:当前皇后已经不存在合法位置(越界)。
- 具体思路:
- 如果能够将前面所有的皇后放置在合法位置,那么就继续试探下一个皇后,从第1个皇后开始依次类推。
- 如果第k个皇后已经不存在合法位置(越界),那么判断第k-1个皇后是否还存在其他合法位置,若存在,则移动到下一个合法位置,重新试探第k个皇后;若不存在,则重复步骤2。
- 第N个皇后同理,只是在第N个皇后放置在合法位置后,到达了递归边界,需要输出可行解,然后重复步骤2。
- 回溯过程图解
(图片转自博客园,目前未经过作者同意,如有侵权,将立即删除!)
- 核心代码
void Put_The_Queen_On_The_NOk_Row_And_The_NOj_column(int k, int n) //需要摆放n个皇后,当前摆放到了第k行。
int j;
if(k > n)//发现可行解
print(n); //输出可行解
else
for(j = 1;j <= n;j++) //试探这一行的每一列
if(Find_The_Valid_Pos(k, j)) //判断该位置是否合法
q[k] = j; //保存位置
Put_The_Queen_On_The_NOk_Row_And_The_NOj_column(k + 1, n); //继续试探下一行
1.4 算法设计
- 清楚递归边界(什么时候停止递归)
- 清楚递归函数的功能(参数的功能、返回值的功能)
- 回溯算法设计基本思路
- 只要当前层还存在合法选项,那么就在保证当前层合法的前提下,进入试探下一层。
- 如果当前层已经不存在合法选项,那么就回溯到上一层,并重复判断1./2.。
- 如果发现可行解,那么重复判断1./2.。
1.5 PTA编程题
1.5.1 整数分解为若干项之和
- 要求
将一个正整数N分解成几个正整数相加,可以有多种分解方法,例如7=6+1,7=5+2,7=5+1+1,…。编程求出正整数N的所有整数分解式子。
思路
- 递归:
- 递归边界:当前result(填入的所有数之和)与N(目标值)相等
- 回溯条件:当前result(填入的所有数之和)与N(目标值)相等(在此之后不可能再出现可行解,继续试探没有意义)。
- 具体思路:
- 每一个位置的值,均从1开始试探。
- 如果当前的result(已经填入的所有数之和)仍小于N(输入的目标值),那么就使 第n个数 从 上一个数的数值 往上 试探。
- 如果当前result与N相等,到达递归边界,输出可行解,并且回溯到上一个状态(此时只有n-2个数),继续使第n-1个数自加,并判断result与N的关系。
- 依次类推,直到遍历所有可行解。
核心代码
void Division(int x, int pos, int result)
static int counter, array[32];
if(result != N)
for (int i = x; result + i - 1 < N; i++)
array[pos] = i;
Division(i, pos + 1, result + i);
else
counter++;
std::cout << N << '=';
for (int i = 0; i < pos - 1; i++)
std::cout << array[i] << '+';
if (counter % 4 == 0 || array[pos - 1] == N)
std::cout << array[pos - 1] << std::endl;
else
std::cout << array[pos - 1] << ';';
1.5.2 输出全排列
要求
- 输出前n个正整数的全排列(n<10)。
- 排列的输出顺序为字典序,即序列a1,a2,?,an排在序列b1,b2,?,bn之前,如果存在k使得a1=b1,?,ak=bk 并且 ak+1<bk+1。
思路
- 这题与N皇后问题更加类似,而且运行流程更加简单。因为回溯只会出现在发现可行解之后,即试探直到发现可行解的过程不会被回溯打断。
- 递归:试探下一位的数字,并且判断拟填入的数字是否被用过
- 递归边界:全排列数的长度与N(目标值)相等。
- 回溯条件:拟填入的数字已经全部被使用过了。
- 具体思路(“合法”即当前层待填入的数字还未被使用过 )
- 只要当前层还存在合法选项,那么就在保证当前层合法的前提下,进入试探下一层。
- 如果当前层已经不存在合法选项,那么就回溯到上一层,并重复判断1./2.。
- 如果发现可行解,那么就重复判断1./2.。
注意
输入的目标值与全排列数的位数始终是一致的。
核心代码
/*全局变量*/
int whole_array[32]; // 存储当前的全排列数
int sub[32]; //记录每一个数字是否被用过
int N; //目标值
/*递归函数*/
void Perm (int x)
static int length = 0; //当前全排列的长度
if(N <= x - 1) //判断全排列树的长度是否等于目标值
for(int i = 1;i <= N;i++) //输出
printf("%d",whole_array[i]);
printf("\\n");
else //只要全排列数的长度小于目标值
for(int i = 1;i <= N;i++) //由于要输出字典序,每一个位置从1开始试探
if(sub[i] == 0) //判断这个数是否被用过
whole_array[x] = i; //将这个数
sub[i] = 1; //填入之后将这个数标记为1,即在该全排列数中已经出现
Perm(x + 1); //到下一个位置继续试探
sub[i] = 0; //如果发生回溯,那么需要重新将这个数字标记为没有出现过
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