算法漫游指北（第十篇）:泛型递归递归代码模板递归思维要点分治算法回溯算法

Posted 2020-12-10 nicholas0707

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了算法漫游指北（第十篇）:泛型递归递归代码模板递归思维要点分治算法回溯算法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

一、泛型递归

递归 Recursion：

又译为递回，在数学与计算机科学中，是指在函数的定义中使用函数自身的方法。
递归一词还较为常用于描述以自相似方法重复事物的过程。
在数学和计算机科学中，递归指由一种（或多种）简单的基本情况定义的一类对象或方法，并规定其他所有情况都能被还原为其基本情况。

斐波那契数列是典型的递归案例，递归是一种特殊的循环，通过函数体来进行的循环

示例：

# 计算 n!
n! = 1 * 2 * 3 * ... * n
?
def Factorial(n):
    if n <=1:
        return 1
    return n * Factorial(n - 1)

递归代码模板（重点记下来）

def recursion(level,param1,param2,...):
    # recursion terminator  1.递归终结者，递归中止的条件
    if level > MAX_LEVEL:
        process_result
        return
?
    # process logic in current level  2.处理当前层逻辑
    process(level,data...)
?
    # drill down  3.下探到下一层
    self.recursion(level + 1,p1,...)
?
    #reverse the current level status if needed  4.清理当前层（比如需要清理的全局变量），不是必选项

递归终止条件（terminator）：写递归函数开始的话，一定要先把函数递归终止条件写上，否则，会导致无限递归或者死循环。
处理当前层的逻辑（current level logic）：完成这一层要进行的业务代码、逻辑代码
下探到下一层（drill down）：这里的参数来标记当前是哪一层，这里level必须加1，同时把相应的参数p1、p2、p3...放下去就行了。
清理（reverse）：递归完了，有些东西可能要清理，（非必需）

递归思维要点

不要人肉进行递归（最大误区），初学者可以在纸上画出递归的状态树，慢慢熟练之后一定要抛弃这样的习惯。一定要记住：直接看函数本身开始写即可。否则，永远没办法掌握、熟练使用递归。
找到最近最简的方法，将其拆解成可重复解决的问题（找最近重复子问题）。原因是我们写的程序的指令，只包括 if else 、 for 和 while loop、递归调用。
数学归纳法的思维，最开始最简单的条件是成立的，比如n=1,n=2的时候是成立的，且第二点你能证明当n成立的时候，可以推导出n+1也成立的。

二、分治算法（Divide & Conquer）

分治和回溯，本质上就是递归，是递归的一个细分类。可以理解为分治和回溯，就是一种特殊的递归，或者是较为复杂的递归。

本质上就是找重复性以及分解问题，和最后组合每个子问题的结果，都是这一个思路。

碰到一个题目，就会找到他的重复性：

最优重复性：动态规划

最近重复性：根据重复性的构造和分解，便有分治和回溯。

分治的思想：本质是递归，在递归状态树的时候，对一个问题会化解成好几个子问题。

基本概念

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法（快速排序，归并排序），傅立叶变换（快速傅立叶变换）

递归状态树

技术图片

基本思想及策略

　分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

分治法适用的情况

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征： 1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决 2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。 3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； 4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

分治法的基本步骤

分治算法就是将原问题划分成n个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。

分治算法的递归实现中，每一层递归都会涉及这样三个操作：

分解：将原问题分解成一系列子问题
解决：递归地求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解
合并：将子问题的结果合并成原问题

分治算法能解决的问题，一般需要满足下面这几个条件：

原问题与分解成的小问题具有相同的模式
原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性
具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小，可以直接求解
可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了

分治代码模板

def divide_conquer(problem, param1, param2, ...):
    # recursion terminator 终止条件
    if problem is None:
        print_result
        return
    # prepare data  处理当前层逻辑
    data = prepare_data(problem)
    subproblems = split_problem(problem, data)
    # conquer subproblems  调用函数下探到下一层，解决更细节的子问题
    subresult1 = self.divide_conquer(subproblems[0], p1, ...)
    subresult2 = self.divide_conquer(subproblems[1], p1, ...)
    subresult3 = self.divide_conquer(subproblems[2], p1, ...)
    ...
    # process and generate the final result
    result = process_result(subresult1, subresult2, subresult3, ...)
?
    # revert the current level states
    # 与泛型递归不同就是在drill down与revert state中间加了一步
    # ---> 就是把drill down得到的子结果要合并在一起，返回回去。