机房测试5：silhouette（组合数+递推）

Posted 2022-12-26 mowanying

题目：

 

 

 

 分析：

（这道题是真的难）（声明： 在这位大佬的题解下多做了说明，图片来源也是他的博客。）

首先我们要发现一些小规律：

1.将A和B排序之后并不影响答案

证明：不管哪一列排序放到了哪里，那一列的最大值都应该是Ai。

2.A的最大一定等于B的最大：

很显然，如果不等于，那么最大值放在哪里都不合法。

3.将A和B数组按从小到大的顺序排序后，会变成这种矩形：

 

 定义f[ i ]为至少有i行不满足，定义至少的原因：两两行之间不会受影响

显然最后我们要求的是恰好有0行不满足，即至少有0行不满足-至少有1行不满足，但因为至少有一行不满足中包含了至少有两行不满足，所以要加上，有加多了至少有三行不满足的情况，以此类推，用容斥原理计算答案。

先推S1的情况，再在S1的基础上得到S2的公式。

公式的解释他写的太好了，这里就不再阐述。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ri register int
#define ll long long
#define N 100005
const ll mod = 1e9+7;
ll a[N],b[N],s[N<<1],invfac[N],fac[N];
int read()

    int x=0,fl=1; char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)  if(ch==‘-‘) fl=-1; ch=getchar(); 
    while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘) x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
    return fl*x;

ll quick_pow(ll a,ll k)

    ll ans=1;
    while(k)  if(k&1) ans=ans*a%mod; a=a*a%mod; k>>=1; 
    return ans;

void init(int n)

    fac[0]=1;
    for(ll i=1;i<=n;++i) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    invfac[n]=quick_pow(fac[n],mod-2);
    for(ll i=n;i>=1;--i) invfac[i-1]=invfac[i]*i%mod;

ll C(ll m,ll n)

    return fac[n]*invfac[m]%mod *invfac[n-m] %mod;

ll calc(ll a,ll b,ll c,ll d,ll ss)

    ll ret=0;
    for(ll i=0;i<=a;++i)
        ll tmp=C(i,a)* quick_pow(( quick_pow(ss,i) * ( quick_pow(ss+1,a+c-i) - quick_pow(ss,a+c-i) +mod) %mod),b) %mod;
        tmp=tmp * quick_pow(( quick_pow(ss,i) * quick_pow(ss+1,a-i) %mod ),d) %mod;
        if(i&1) ret=(ret-tmp+mod)%mod;
        else ret=(ret+tmp)%mod;
    
    return ret;

int main()

    freopen("silhouette.in","r",stdin);
    freopen("silhouette.out","w",stdout);
    int n=read(),cnt=0;
    for(ri i=1;i<=n;++i) a[i]=read(),s[++cnt]=a[i]; 
    for(ri i=1;i<=n;++i) b[i]=read(),s[++cnt]=b[i];
    sort(a+1,a+1+n);
    sort(b+1,b+1+n);
    if(a[n]!=b[n])  printf("0\\n"); return 0; 
    sort(s+1,s+1+cnt);
    int num=unique(s+1,s+1+2*n)-s-1;
    int na=n,nb=n,pa=n+1,pb=n+1;
    init(n);
    ll ans=1;
    for(ri i=num;i>=1;--i)
        while(na-1 && a[na-1]==s[i]) na--;
        while(nb-1 && b[nb-1]==s[i]) nb--;
        ans=ans* calc( pa-na,pb-nb,n-pa+1,n-pb+1,s[i] ) %mod;
        pa=na; pb=nb;
    
    printf("%lld\\n",ans);

/*
2
1 2
2 1
*/

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